知识
Morse 理论（一）：非退化光滑函数
此系列为讨论班的复习笔记，这一部分参考 Milnor 的 Morse Theory 第一部分，这其中 Chapter 7 涉及一些复几何与代数几何，故不包含。…
【草稿】光滑流形（三）：嵌入
从反向传播到多层感知机
【草稿】广义相对论
据说 Karl Schwarzschild 在 Einstein 提出场方程后不久，在一战的战地医院中算出了第一个精确解，是一个静态、球对称解，即黑洞。…
一点点几何学随机学习
在暑假初的时候阅读丘赛几何与拓扑的考纲，发现自己什么都不会，打算好好学习重新做人（然而并没有）。当时参考了知乎上一篇学习建议。本文为一些碎片学习的整合。…
从单形到无穷范畴理论
本文主要为 ∞-type Café 暑期学校 2026 的“无穷范畴”课程前两次笔记，参考了 nLab 的资料及答疑群的回答。…
类型论发展与思想综述
阅读 Trebor 的高观点小册子《类型论简史》的笔记（跳过了范畴语义部分）。…
光滑流形（二）：定向与积分
在光滑流形上我们可以对微分形式作积分，其定义需要一些关于定向的说明。基于这一套语言可以给出 Stokes 定理。…
（椭圆）模形式基本定义与结构
李文威在《模形式初步》中言，模形式是一门彻上彻下，勾连四方的学问，能有效组织被本科课程分割承包的知识，进而将数学还原到浑然一体的面貌。本文略过了各种数论应用。…
Universals and Limits 习题选做
做一些 Mac Lane 书上 Ⅲ. Universals and Limits 的习题（从 2. The Yoneda Lemma 开始，前面的在一些泛性质使用的习题选做）。…
同调论的拓扑基础与持续同调
由于高阶同伦群不好算，我们引入了同调群。其一个应用是数据分析的持续同调。…
几何学Ⅱ期末复习笔记
下半学期的内容是基本群和复叠空间。参考尤承业《基础拓扑学讲义》及 Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 第一章。…
高等代数Ⅱ期末复习笔记
本文用于准备高等代数Ⅱ的期末考试。这半学期的内容主要是内积空间、内积空间上的线性变换，以及双线性形式。…
数学分析Ⅱ期末复习笔记
本文用于准备数学分析Ⅱ的期末考试。这半学期的内容是函数项级数（一致收敛）、幂级数与多元函数微分学。…
集合范畴基本理论（ETCS）简介
ETCS 是 Lawvere 的集合范畴基本理论（Elementary Theory of the Category of Sets）。
对此会有一个误解是认为其基本动机是用范畴论来取代集合理论，其实不然，它就是集合论。这些公理是受范畴启发的，并不依赖于拥有一个一般的范畴的定义。…
一阶逻辑的元定理与边界
命题逻辑对推理的分析无法满足我们的需求，我们还需要对“所有”这样的词语分析，因而有了一阶逻辑，在满足一定条件下它是表达能力最强的逻辑系统，但也有其边界。…
命题模态逻辑与知识逻辑
发展出（命题）模态逻辑的动机来自于，命题逻辑的实质蕴涵并不总是与自然语言的“如果……那么……”完全相符，因为自然语言中还携带了因果、时间、规范、认知、反事实等信息。由于精力有限，本文涉及的内容会远少于对应的课程讲义。…
关于滤子：极限及“最终”模态词诱导
起因是听说 Lean 现在的 mathlib 中实数是依靠滤子定义的（但实际搜索了一下发现当前版本还是改为用 Cauchy 序列定义）。…
高等代数Ⅱ期中复习笔记
本文用于准备高等代数Ⅱ的期中考试。这半学期的内容是推进到准素循环分解，其动机是尽可能精细的直和分解。…
几何学Ⅱ期中复习笔记
这半学期的主要内容是古典微分几何，即嵌入 $\mathbb{E}^3$ 看的曲线论与曲面论。本文略去关于 Christoffel 记号的内容（如果之后学习黎曼几何可能涉及到更一般的）。…