【草稿】【逻辑学】模态逻辑
Rratic
发展出（命题）模态逻辑的动机来自于，命题逻辑的实质蕴涵并不总是与自然语言的“如果……那么……”完全相符，因为自然语言中还携带了因果、时间、规范、认知、反事实等信息。由于精力有限，本文涉及的内容会远少于对应的课程讲义。
形式语言
模态逻辑提供的是各种不同模态概念（知识逻辑、道义逻辑、时态逻辑等）的统一范式。
在命题逻辑之上，模态逻辑允许：若 $\varphi$ 是公式，则 $\Box \varphi$ 是公式。这里用 Box 表示那个模态词。我们再定义：
$$\Diamond \varphi = \neg \Box \neg \varphi$$
是 Box 的对偶。如，当 Box 的含义是“必然”（真势模态）时，Diamond 的含义是“可能”。
从直观上我们可以用自然语言理解：
- $\neg \Diamond p$ 意为“不可能 $p$”
- $\Diamond p \wedge \Diamond \neg p$ 意为“$p$ 可能真，也可能假”
- $p \wedge \neg \Box p$ 意为“$p$ 偶然真”
对“包含模态词的自然语言”来说，一个歧义来源是辖域，即模态词作用范围。
形式语义
模态逻辑最自然的语义是可能世界语义。
一个 Kripke 模型 $\mathcal{M}$ 包含：
- 可能世界集 $W$ 是非空集合，表示“可能的世界”
- 可达关系 $R \subseteq W \times W$ 是二元关系，可以视作以 $W$ 为顶点的图的有向边
- 赋值函数 $V$ 指出每个世界中哪些命题字母为真
指定世界 $w$ 的原子命题、否定、合取的满足关系是自然的。而我们说 $\mathcal{M}, w \models \Box \varphi$ 当且仅当对所有 $w$ 可达的世界 $u$, $\varphi$ 在 $u$ 上为真。