【草稿】广义相对论

据说 Karl Schwarzschild 在 Einstein 提出场方程后不久，在一战的战地医院中算出了第一个精确解，是一个静态、球对称解，即黑洞。

参考书是 Ward, General Relativity，采取符号 $(-, +, +, +)$.

引入

在广义相对论之前的朴素观念中，我们认为时空（spacetime）有这样的附加结构：对时空中的事件 $p, q$，互斥的三种可能性之一必然发生：（一）某个观测者/物质体能够从事件 $q$ 去往事件 $p$，此时称 $q$ 在 $p$ 的过去；（二）对偶的情形，称 $q$ 在 $p$ 的未来；（三）观测者/物质体不能同时处在 $p$ 与 $q$，此时假定这样的事件构成一个三维集合，定义与 $p$ “同时发生”。

在狭义相对论中仍然区分上述三种互斥的可能性，不同的是（三）类中构成的不再是“一个三维集合”，而是光锥（过去光锥及未来光锥）边界上的点及光锥之外的点。一个观察者能够定义其视角下的“同时发生”，但这依赖于观察者的状态（反过来说，光锥不依赖于观察者），因而没有“绝对同时发生”的概念。

朴素观念及狭义相对论中有惯性（inertial）的概念，用以指代不受外力的物质体所经历的运动。一个惯性观察者这样标记时空中的事件：先建立一个带有笛卡尔坐标系的刚性标架，然后在每个点放一个时钟并校准（如，对一个指定时钟和观察者自己的时钟，让中点处的某观察者对称地发信号，让读数一致）。若观察者 $O$ 标记事件 $p: (t, x, y, z)$，观察者 $O'$ 沿 $x$-方向以速度 $v$ 运动，在 $(0, 0, 0, 0)$ 经过 $O$，则狭义相对论中 $O'$ 标记事件 $p$ 为：

$$ \begin{align*} t' &= (t - vx/c^2) / (1 - v^2/c^2)^{1/2} \tag{1.1.1} \cr x' &= (x - vt) / (1 - v^2/c^2)^{1/2} \tag{1.1.2} \cr y' &= y \tag{1.1.3} \cr z' &= z \tag{1.1.4} \end{align*} $$

在狭义相对论中，时间间隔与空间间隔都会随观察者变化，独立于观察者的是：

$$I = -(\Delta t)^2 + \frac 1 {c^2} [(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2] \tag{1.2}$$

实际上 Poincaré 群 $\R^{1, 3} \rtimes \mathrm{SO}(1, 3)$ 的变换恰好是保持 $I$ 的那些线性变换。回忆 Erlangen 纲领，我们让 $I$ 是时空的一个度量。

狭义相对论已经与 Maxwell 的理论相容了，然而出于两种原因 Einstein 选择发展一个新的关于时空与重力的理论：（一）所有物体都受到重力，由于运动独立于物体本身，可以考虑把重力场的性质归因于时空本身的结构（我们将会看到自由落体的物体总是走时空度量的测地线）；（二）Mach 及一些其它哲学家、学者不满足于时空的结构一成不变，希望物质能够影响时空。

注意到问题可能出在“同时”。设静止长度 $1$，车速 $v$，记车尾 $C$ 对应车库门 $A$，车头 $D$ 对应车库门 $B$. 先考虑车库管理员视角，以下用小写字母指代对应的事件，我们设：

$$ \begin{align*} a, c &: (0, 0, 0, 0) \cr b &: (0, 1, 0, 0) \cr d &: (0, x_d, 0, 0) \end{align*} $$

考虑司机视角（设司机在车尾），使用 $(1.1)$ 式，有 $a', c'$ 不变，其余：

$$ \begin{align*} b' &: \left(- \frac v {c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2}}, \frac 1 {\sqrt{1 - v^2/c^2}}, 0, 0\right) \cr d' &: \left(- \frac{vx_d}{c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2}}, \frac {x_d} {\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 1, 0, 0\right) \end{align*} $$

故 $x_d = \sqrt{1 - v^2/c^2}$，即尺缩效应的结果，车库管理员所说正确。而对司机来说 $a', b'$ 不是同时的，说法不正确。

记号定义

张量

与之前相同但换一种看法，我们说 $T$ 是 $(k, l)$ 型张量，如果它是多重线性的：

$$T: \underbrace{V^\ast \times \dots \times V^\ast}_k \times \underbrace{V \times \dots \times V}_l \to \R$$

记 $(k, l)$ 型张量全体是 $\mathscr T(k, l)$，基 $v_i$ 对应对偶基 $v^{i\ast}$.

我们引入关于第 $i$ 个（对偶向量）槽位和第 $j$ 个（向量）槽位缩并 $C: \mathscr T(k, l) \to \mathscr T(k-1, l-1)$ 是指：

$$CT = \sum_{\sigma=1}^n T(\dots, v^{\sigma\ast}, \dots; \dots, v_\sigma, \dots)$$

其中前者和后者对应安插在第 $i$ 个、第 $j$ 个槽位。

我们接着将 $(k, l)$ 型张量 $T$ 与 $(k', l')$ 型张量 $T'$ 的外积 $(k+k', l+l')$ 型张量 $T \otimes T'$ 定义为：

$$(T \otimes T')(v^{1\ast}, \dots, v^{k+k'\ast}; w_1, \dots, w_{l+l'}) = T(v^{1\ast}, \dots, v^{k'\ast}; w_1, \dots, w_l) T(v^{k+1\ast}, \dots, v^{k+k'\ast}; w_{l+1}, \dots, w_{l+l'})$$

我们可以把 $(k, l)$ 型张量 $T$ 写成和：

$$T = \sum _{\mu _1, \dots, \nu _l = 1}^n T^{\mu _1 \dots \mu _k}{} _{\nu _1 \dots \nu _l} v _{\mu _1} \otimes \dots \otimes v^{\nu _l\ast}$$

其中的 $T^{\mu _1 \dots \mu _k}{} _{\nu _1 \dots \nu _l}$ 称为分量。

在此种观点下我们有：

$$(CT)^{\mu _1 \dots \mu _{k-1}} _{\nu _1 \dots \nu _{l-1}} = \sum _{\sigma = 1}^n T^{\mu _1 \dots \sigma \dots \mu _{k-1}} _{\nu _1 \dots \sigma \dots \nu _{l-1}} \tag{2.1}$$

$$(T \otimes T')^{\mu _1 \dots \mu _{k+k'}} _{\nu _1 \dots \nu _{l+l'}} = T^{\mu _1 \dots \mu _k} _{\nu _1 \dots \nu _l} T'^{\mu _{k+1} \dots \mu _{k+k'}} _{\nu _{l+1} \dots \nu _{l+l'}} \tag{2.2}$$

我们考虑对称、非退化（$g(v, w) = 0,\, \forall v \implies w = 0$）的 $(0, 2)$ 型张量，这是度量的允许不正定的版本。记：

$$g = \sum_{\mu, \nu} g_{\mu \nu} \mathrm dx^\mu \otimes \mathrm dx^\nu \tag{2.3}$$

$g$ 有时也记作 $\mathrm ds^2$，体现“无穷小距离”的含义。

抽象指标记号

由于前述分量是基底相关的，Penrose 引入了一种不依赖基底的抽象指标记号：用 $T^{a_1 \dots a_k}{} _{b_1 \dots b_l}$ 表示 $(k, l)$ 型张量，用相同的字母表示同一个槽位。如 $T^{abc}{} _{be}$ 指代 $T^{abc}{} _{de}$ 关于第 $2, 1$ 个槽位缩并得到的 $(2, 1)$ 型张量。为了区分，我们在分量中用希腊字母，在抽象指标记号中用拉丁字母。

对于 $g_{ab}$，它会给出一个 $V_p$ 与 $V_p^\ast$ 的同构，故不妨将 $\nu^a$ 对应的对偶向量 $g_{ab}\nu^b$ 就记作 $\nu^a$；将 $g_{ab}$ 的逆记作 $g^{ab}$，从而有 $g^{ab} g_{bc} = \delta^a_c$.

我们用指标的升降来表达度量/度量的逆的作用。如，对 $T^{abc}{} _{de}$ 是 $(3, 2)$ 型张量，读者可验证：

$$T^{a}{} _b{}^{cde} = g _{bf} g^{dh} g^{ej} T^{afc}{} _{hj}$$

读者也可见 $T_{ab} = T_{ba}$ 等价于说 $T$ 是对称的。我们定义对称与反对称部分：

$$ \begin{align*} T_{(a_1, \dots, a_l)} &= \frac 1 {l!} \sum_\pi T_{a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(l)}} \tag{2.4.1} \cr T_{[a_1, \dots, a_l]} &= \frac 1 {l!} \sum_\pi \delta_\pi T_{a_{\pi(1)}, \dots, a_{\pi(l)}} \tag{2.4.2} \end{align*} $$

这可以扩展到：

$$T^{(ab)c}{} _{[de]} = \frac 1 4 [T^{abc}{} _{de} + T^{bac}{} _{de} - T^{abc}{} _{ed} - T^{bac}{} _{ed}]$$

曲率

导算子

朴素的对曲面弯曲的看法是嵌入 $\mathbb E^3$ 的外在视角看的弯曲。为了内蕴地看弯曲，我们考虑联络的平行移动看法。对于同伦的曲线 $\gamma_1, \gamma_2$，沿着它们平行移动的结果可能是不同的。

我们稍微扩展一下导算子 $\nabla$ 的定义，让它接受 $(k, l)$ 型张量得到 $(k, l+1)$ 型张量。在指标记号中使用 $\nabla_a$，尽管它并不是对偶向量。它需要满足的是：

1. 线性性，对 $A, B \in \mathscr T(k, l)$ 及 $\alpha, \beta \in \R$ $$ \begin{align*} & \nabla_c(\alpha A^{a_1 \dots a_k}{} _{b_1 \dots b_l} + \beta B^{a_1 \dots a_k}{} _{b_1 \dots b_l}) \cr =& \alpha \nabla_c A^{a_1 \dots a_k}{} _{b_1 \dots b_l} + \beta \nabla_c B^{a_1 \dots a_k}{} _{b_1 \dots b_l} \tag{3.1.1} \end{align*} $$
2. Leibniz 律，对 $A \in \mathscr T(k, l), B \in \mathscr T(k', l')$ $$ \begin{align*} &\nabla _e [A^{a _1 \dots a _k}{} _{b _1 \dots b _l} B^{c _1 \dots c _{k'}}{} _{d _1 \dots d _{l'}}] \cr =& [\nabla _e A^{a _1 \dots a _k}{} _{b _1 \dots b _l}] B^{c _1 \dots c _{k'}}{} _{d _1 \dots d _{l'}} \cr +& A^{a _1 \dots a _k}{} _{b _1 \dots b _l} [\nabla _e B^{c _1 \dots c _{k'}}{} _{d _1 \dots d _{l'}}] \tag{3.1.2} \end{align*} $$
3. 与缩并交换，对 $A \in \mathscr T(k, l)$ $$\nabla_d (A^{a _1 \dots c \dots a _k}{} _{b _1 \dots c \dots b _l}) = \nabla_d A^{a _1 \dots c \dots a _k}{} _{b _1 \dots c \dots b _l} \tag{3.1.3}$$
4. 与切向量作为导子一致，对 $f \in \mathscr F, t^a \in V_p$ $$t^a \nabla_a f = t(f) \tag{3.1.4}$$
5. 无挠（等价于联络对称），对 $f \in \mathscr F$ $$\nabla_a \nabla_b f = \nabla_b \nabla_a f \tag{3.1.5}$$

我们把 Levi-Civita 联络转为看成：

$$\nabla_a g_{bc} = 0 \tag{3.2}$$

Riemann 曲率张量

对导算子 $\nabla_a$ 及对偶向量场 $\omega_a$ 及光滑函数 $f$，读者可验证：

$$(\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a) (f \omega_c) = f (\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a) \omega_c$$

故知 $\nabla_a \nabla_b - \nabla_b \nabla_a$ 是 $(0, 3)$ 型向量场。称下式 $R_{abc}{}^d$ 为 Riemann 曲率张量：

$$\nabla_a \nabla_b \omega_c - \nabla_b \nabla_a \omega_c = R_{abc}{}^d \omega_d \tag{3.3}$$

这实际上刻画的是，如果某 $v^c$ 在一个小的坐标邻域内沿如下路径搬运：

$$ \begin{CD} (0, \Delta s) @<<< (\Delta t, \Delta s) \cr @VVV @AAA \cr (0, 0) @>>> (\Delta t, 0) \end{CD} $$

则有：

$$\delta v^a = v^d T^c S^b R_{cbd} {}^a + O(\Delta^3)$$

$$ \begin{align*} R_{abc}{}^d &= -R_{bac}{}^d \tag{3.3.1} \cr R_{[abc]}{}^d &= 0 \tag{3.3.2} \cr \nabla_a g_{bc} = 0 \implies R_{abcd} &= -R_{abdc} \tag{3.3.3} \cr \nabla_{[a} R_{bc]d} {}^e &= 0 \tag{3.3.4} \end{align*} $$

我们将 Riemann 张量分解为迹部分与无迹部分。由反对称性迹部分会消没两个指标，我们定义对称的 Ricci 张量：

$$R_{ac} = R_{abc}{}^b \tag{3.4}$$

其迹 $R = R_a {}^a$ 称为标量曲率。无迹部分称为 Weyl 张量 $C_{abcd}$，在维数 $n \geq 3$ 时定义为：

$$ \begin{align*} R_{abcd} &= C_{abcd} \cr &+ \frac 2 {n-2} (g_{a[c} R_{d]b} - g_{b[c} R_{d]a}) \cr &- \frac 2 {(n-1)(n-2)} R g_{a[c} g_{d]b} \tag{3.5} \end{align*} $$

我们再定义一个 Einstein 张量（会满足 $\nabla^a G_{ab} = 0$）为：

$$G_{ab} = R_{ab} - \frac 1 2 R g_{ab} \tag{3.6}$$

测地线

考虑测地线，可以看成是满足：

$$T^a \nabla_a T^b = \alpha T^b \tag{3.7.1}$$

这总是可以重参数化得到：

$$T^a \nabla_a T^b = 0 \tag{3.7.2}$$