【草稿】数学分析Ⅱ期末复习笔记

对 $I \subseteq \R$ 上的函数 $f(x), f_n(x)$, 若对任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $N$ 使得：

$$|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon, \forall n > N, x \in I$$

则称 $\{f_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$, 记作 $f_n(x) \rightrightarrows f(x), x \in I$.

设函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $E \subseteq \R$ 上一致收敛，函数列 $\{v_n(x)\}$ 对于每个取定的 $x \in E$ 关于 $n$ 单调且在 $E$ 上一致有界，则 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)v_n(x)$ 在 $E$ 上一致收敛。

设函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ 的部分和函数列在 $E \subseteq \R$ 上一致有界，函数列 $\{v_n(x)\}$ 对于每个取定的 $x \in E$ 关于 $n$ 单调且在 $E$ 上一致收敛到 $0$，则 $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)v_n(x)$ 在 $E$ 上一致收敛。

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $E \subseteq \R$ 上一致收敛到 $f(x)$，若 $f_n(x)$ 在 $x_0 \in E$ 处连续，则 $f(x)$ 也在 $x_0 \in E$ 处连续。

在 $[a, b]$ 上函数列 $\{f_n(x)\}$ 满足对任意 $\varepsilon > 0$ 存在 $\delta > 0$ 使得 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时 $|f_n(x_1) - f_n(x_2)| < \varepsilon$，则称在 $[a, b]$ 上等度连续。

在 $[a, b]$ 上函数列 $\{f_n(x)\}$ 等度连续，且一致有界，则存在一致收敛子列。

构造 $\R$ 上等度连续的函数列 $\{f_n(x)\}$ 逐点收敛于 $f(x)$ 但不一致收敛。

函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛到 $f(x)$，若 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上均 Riemann 可积，则 $f(x)$ 也在 $[a, b]$ 上 Riemann 可积，且：

$$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$

在 $[a, b]$ 上，设 $f_n(x)$ 逐点收敛到 $f(x)$，且 $f_n(x)$ 与 $f(x)$ 均可积，若 $f_n(x)$ 一致有界，则：

$$\lim_{n \to +\infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d}x = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$$

在 $[a, b]$ 上，设 $f_n(x)$ 可微且 $\{f_n'(x)\}$ 一致收敛到某 $g(x)$，且某点 $c$ 处 $\{f_n(c)\}$ 收敛，则 $f_n(x)$ 必一致收敛于某可微函数 $f(x)$ 且：

$$\lim_{n \to +\infty} f_n'(x) = f'(x)$$

设 $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{10^n} \{10^n x\}$，其中 $\{t\}$ 表示离最近的整数的距离，证明 $f(x)$ 处处连续、不可微。

对幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ 记：

$$\rho = \varlimsup_{n \to +\infty} |a_n|^{\frac{1}{n}}$$

及 $R = 1 / \rho$ 有：

1. $R = +\infty$ 时，幂级数在 $(-\infty, +\infty)$ 中绝对收敛
2. $R = 0$ 时，幂级数仅在 $0$ 处收敛
3. $0 < R < +\infty$ 时幂级数在 $(-R, R)$ 中绝对收敛，在 $[-R, R]$ 之外发散

对幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ 收敛半径 $0 < R < +\infty$，则：

1. 幂级数在收敛区间内闭绝对一致收敛
2. 若在 $R$ 处收敛，则在 $(-R, R]$ 内闭一致收敛
3. 若在 $-R$ 处收敛，则在 $[-R, R)$ 内闭一致收敛

称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近可以展开成幂级数，是指某个邻域内有：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (x - x_0)^n$$

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有任意阶导数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 级数：

$$f(x) \sim \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$$

$$\int_0^1 x^{-x} \mathrm{d}x = \sum_{n=1}^\infty n^{-n}$$

如果 $f(x) \in C[a, b]$，则 $f(x)$ 于 $[a, b]$ 可被多项式一致逼近。

设指标集 $\Lambda$，对 $\lambda \in \Lambda$ 有 $\R^n$ 中的闭球 $B_\lambda = \overline{B(x_\lambda, r_\lambda)}$. 设 $\sup r_\lambda < +\infty$，证明存在可数子集 $\Lambda_0$ 满足：

1. 其中的 $B_i, B_j$ 两两不交
2. $\bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_\lambda \subseteq \bigcup_{\lambda \in \Lambda_0} \overline{B(x_\lambda, 5r_\lambda)}$

关于 $x$ 的偏导数是：

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

记作 $\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}$ 或 $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0, y_0)}$ 或 $f_x(x_0, y_0)$.

类似一元函数微分，全微分即全增量关于自变量增量的线性部分。

对 $\lVert l \rVert = 1$ 定义方向导数：

$$\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial l} \coloneqq \lim_{\rho \to 0^+} \frac{f(p_0 + \rho l) - f(p_0)}{\rho}$$

若函数在 $(x_0, y_0)$ 可微，则记此处函数梯度：

$$\operatorname{grad} f(x_0, y_0) \text{ or } \nabla f(x_0, y_0) \coloneqq \left.\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right|_{(x_0, y_0)}$$

设 $f: E \to \R^2$ 及 $(x_0, y_0)$，若 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 附近 $f_x$ 与 $f_y$ 存在且可微，那么：

$$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$$

设 $f: E \to \R^2$ 及 $(x_0, y_0)$，若 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 附近 $f_x$ 与 $f_y$ 存在；$f_{xy}$ 存在且在该点连续，则 $f_{yx}$ 也存在且：

$$f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0)$$

若 $\lVert h \rVert \to 0$ 时 $f(x_0 + h) - f(x_0) = Ah + r(h)$，其中 $\lVert r(h) \rVert = o(\lVert h \rVert)$ 成立，则称 $A$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的 Fréchet 导数。

$$ J f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \cr \vdots & & \vdots \cr \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{pmatrix} $$

设 $D \subseteq \R^n$ 为凸域，函数 $f: D \to \R$ 在 $D$ 中处处可微，则任给 $x, y \in D$ 存在 $\lambda \in (0, 1)$ 使得：

$$f(x) - f(y) = \nabla f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \cdot (x - y)$$

设 $D \subseteq \R^n$ 为凸域，函数 $f: D \to \R$ 在 $D$ 中处处可微，则任给 $x, y \in D$ 存在 $\xi \in D$ 使得：

$$\lVert f(x) - f(y) \rVert \leq \lVert Jf(\xi) \rVert \cdot \lVert x - y \rVert$$

设 $D \subseteq \R^n$ 为凸域，$f \in C^{m+1}(D)$，$a \in D$，则任给 $x \in D$ 存在 $\theta \in (0, 1)$ 使得：

$$ f(x) = \sum_{k=0}^m \sum_{|\alpha|=k} \frac{D^\alpha f(a)}{\alpha!}(x - a)^\alpha + \sum_{|\alpha|=m+1} \frac{D^\alpha f(a + \theta(x - a))}{\alpha!}(x - a)^\alpha $$

其中 $\alpha$ 是多重指标。

我们定义 $f$ 的 Hesse 矩阵：

$$\nabla^2 f \coloneqq \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\right)_{n \times n}$$

定义 Laplace 算子 $\Delta = \operatorname{tr} \nabla^2$.

设 $u = F(x, y)$ 在 $B((x_0, y_0), \delta)$ 内满足 $F(x_0, y_0) = 0$；$F(x, y)$ 与 $F_y(x, y)$ 连续；$F_y(x_0, y_0) \neq 0$，则存在 $\delta_0 \in (0, \delta)$ 使得存在定义在 $(x_0 - \delta_0, x_0 + \delta_0)$ 上唯一的连续函数 $y = f(x)$ 满足 $y_0 = f(x_0)$ 及 $F(x, f(x)) = 0$.