高等代数Ⅱ期中复习笔记
本文用于准备高等代数Ⅱ的期中考试。这半学期的内容是推进到准素循环分解，其动机是尽可能精细的直和分解。
引入
基本概念
外直和定义略去，当以下映射：
$$ \begin{aligned} \Phi: \bigoplus_{i=1}^k V_i & \to V \cr (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) & \mapsto \alpha_1 + \cdots + \alpha_k \end{aligned} $$
为单射时称 $\sum_{i=1}^k V_i$ 为内直和。
特征值
对 $T \in L(V)$ 考察：
$$V_c = \ker (c \cdot \mathrm{id}_V - T)$$
它不是零空间时称 $c$ 是特征值，该空间是关于 $c$ 的特征子空间，其中非零向量是（关于 $c$ 的）特征向量。称 $T$ 的所有特征值构成集合 $\sigma(T)$ 为谱集。
对矩阵 $A = [T]_\mathcal{B}$ 我们记它的特征多项式是 $F$ 上的多项式函数：
$$f_A = \det (xI_n - A)$$
其基本性质易见，且有谱集与 $f_A$ 根的集合相等。我们记代数重数 $m(c, f)$ 是最高的 $(x-c)^k \mid f$ 次数，几何重数是 $\dim V_c$, 则：
$$\dim V_c \leq m(c, f)$$
这是因为我们可以取 $V_c$ 的基，把它扩充成 $V$ 的基，看矩阵的行列式计算。
我们考虑 $T$ 的所有零化多项式：
$$M_T = \set{f \in F[x] | f(T) = 0}$$
它存在唯一的首一生成元，称为 $T$ 的极小多项式 $p_T$.
$$p_T \mid f_T$$
我们考察 $F[x]$-模，对 $f \in F[x]$ 及 $\alpha \in V$ 定义：
$$f\alpha = f(T) \alpha$$
取 $T$ 在基 $\mathcal{B} = \set{\alpha_1, \cdots, \alpha_n}$ 下的矩阵为 $A$.
先证断言：对 $g \in F[x]$ 如果存在 $B \in F[x]^{n\times n}$ 使得 $(xI_n-A)B = gI_n$, 则 $g(T) = 0$. 这是因为：
$$(0, \cdots, 0) = ((\alpha_1, \cdots, \alpha_n)(xI_n - A)) B = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n)(gI_n)$$
又 $f_T$ 符合断言中的条件，因为可以取 $B = \operatorname{adj} (xI_n - A)$. 从而 $f_T \in M_T$.
$T$ 可对角化，当且仅当 $p_T$ 为 $F[x]$ 中互不相同首一一次式乘积。
容易证明（读者注意采取线性映射视角！）。
在此基础上，让 $P$ 是那些对应的特征向量从左到右排成的矩阵，则 $P^{-1}AP$ 是对角阵，每一格是对应特征值。
不变子空间
$V$ 的子空间 $W$ 是 $T$-不变的，如果 $T(W) \subseteq W$. 并不总是存在 $T$-不变补空间（$Z$ 是 $T$-不变子空间且 $V = W \oplus Z$）。
考虑取 $W$ 的基，然后扩充为 $V$ 的基，可以观察到：
$$f_T = f_{T_W} \cdot f_{T_{V/W}}$$
$$\operatorname{lcm}(p_{T_W}, p_{T_{V/W}}) \mid p_T \mid p_{T_W} \cdot p_{T_{V/W}}$$
这可以直接用于解决 2024 P3 (2).
$T, U$ 可同时对角化当且仅当它们分别可对角化且交换。
只需证后推前。对 $\dim V$ 归纳。
当 $T$ 不为 $I$ 的常数倍时，按特征值分解：
$$V = \bigoplus V_{c_i}$$
由交换知每个 $V_{c_i}$ 都是 $U$-不变的，分别使用归纳假设。
以下条件等价：
- $T$ 可（上）三角化
- $f_T$ 为 $F[x]$ 中一次式之积（无需互异）
- $p_T$ 为 $F[x]$ 中一次式之积（无需互异）
只需证 (3) 推 (1) 成立。往证存在 $T$-不变（全）旗，即：
$$0 = W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_n = V$$
其中 $\dim W_k = k$. 我们归纳构造 $W_k$. 考察：
$$p_{T_{V/W_{k-1}}} \mid p_T$$
在 $F$ 中有根，即是特征值，故有特征向量。
$F$ 代数闭域，其上 $\mathcal{F} \subseteq L(V)$ 中的映射两两交换，则 $\mathcal{F}$ 可同时三角化。
不妨设 $\mathcal{F}$ 有限，对 $\mathcal{F}$ 归纳。
尚待完成。
准素循环分解
$T$-不变分解
即分解为 $T$-不变子空间的直和：
$$V = \bigoplus W_i$$
令 $T_i = T_{W_i}$, 读者易证 $p_T = \operatorname{lcm}(p_{T_1}, \cdots, p_{T_k})$ 及：
$$\ker T = \bigoplus \ker T_i$$
$$\operatorname{Im} T = \bigoplus \operatorname{Im} T_i$$
准素分解
当 $p_T$ 为素多项式的幂时，称 $T$ 准素。
设 $p_T = \prod_{i=1}^k p_i^{r_i}$ 其中 $r_i \geq 1$, $p_i$ 为不同的首一素多项式，记 $W_i = \ker (p_i^{r_i}(T))$, 则：
$W_i$ 非零，且 $T$-不变，且 $T_{W_i}$ 极小多项式 $p_i^{r_i}$. 且：
$$V = \bigoplus_{i=1}^k W_i$$
记 $f_i = p_T / p_i^{r_i}$, 则有：
$$ \begin{rcases} p_i^{r_i}(T) f_i(T) = 0 \cr f_i(T) \neq 0 \end{rcases} \implies \ker p_i^{r_i} \neq 0 $$
又，易见 $W_i$ 间线性无关，及 $p_{T_{W_i}} = p_i^{r_i}$.
循环分解
我们回顾证明 Cayley-Hamilton 定理时引入了模。令 $R = F[x]$ 使 $V$ 成为 $R$-模。记 $\alpha$ 生成的循环子空间：
$$R_\alpha = \set{f\alpha | f \in R}$$
若 $R_\alpha = V$, 则称 $\alpha$ 为循环向量，存在循环向量时称 $T$ 循环。
记 $M(\alpha) = \set{f \in R | f\alpha = 0}$ 的唯一首一生成元为 $\alpha$ 的零化子 $p_\alpha$. 易见 $\dim R_\alpha = \deg p_\alpha$.
存在 $\alpha$ 使得 $p_\alpha = p_T$.
$$\set{\alpha | p_\alpha = p_T} = V \setminus \bigcup_{i=1}^k \ker f_i(T)$$
尚待完成。
易见 $T$ 循环当且仅当 $p_T = f_T$, 且在基 $\set{\alpha, T\alpha, \cdots, T^{n-1}\alpha}$ 下是多项式 $f_T$ 的友阵：
$$ \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_0 \cr 1 & 0 & & & -a_1 \cr & \ddots & \ddots & & \vdots \cr & & 1 & 0 & -a_{n-2} \cr & & & 1 & -a_{n-1} \cr \end{pmatrix} $$
这可以给出 Cayley-Hamilton 的另一证明。
对 $T \in L(V)$ 存在 $T$-不变分解 $V = \bigoplus V_i$ 满足 $V_i$ 非零，$T_{V_i}$ 循环，且记不变因子 $p_i = p_{T_{V_i}}$ 有：
$$p_r \mid \cdots \mid p_1$$
这些不变因子的数量与内容被 $T$ 决定，且 $p_T = p_1, f_T = p_1 \cdots p_r$.
尚待完成。
使用循环分解，将友阵沿着对角线排出的就是有理标准型（从上到下编号 $1 \cdots r$ 要求 $p_r \mid \cdots \mid p_1$）。
对任意矩阵存在且唯一。
$A$ 与 $A^\top$ 相似。
写成有理标准型，使用：
$$\det (xI_k - C_g)^\top = \det (xI_k - C_g)$$
$$A = \begin{pmatrix} 5 & -6 & -6 \cr -1 & 4 & 2 \cr 3 & -6 & -4 \end{pmatrix} = \mathbb{Q}^{3\times 3}$$
算得 $f_A = (x-1)(x-2)^2$ 从而 $p_A = (x-1)(x-2)$. 故 $p_1 = (x-1)(x-2), p_2 = x-2$.
$$ \begin{pmatrix} C_{p_1} \cr & C_{p_2} \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{cc|c} 0 & -2 \cr 1 & 3 \cr \hline & & 2 \end{array}\right) $$
现在找 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 等于上述标准型。即找 $F^{3\times 1} = R\alpha_1 \oplus R\alpha_2$, 此时 $P = \begin{pmatrix} \alpha_1 & A\alpha_1 & \alpha_2 \end{pmatrix}$.
我们需要 $p_{\alpha_1} = p_1$ 即 $\alpha_1$ 不是特征向量，取 $\begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr 0 \end{pmatrix}$ 即可。另需要 $p_{\alpha_2} = p_2$ 是特征向量，且 $\alpha_2 \notin R\alpha_1$.
准素循环分解
回顾 $T$ 准素的等价条件是 $p_T$ 准素（这等价于 $f_T$ 准素）；而 $T$ 循环的等价条件是 $p_T = f_T$.
$T$ 不可分解当且仅当 $T$ 准素循环。
只需证准素循环时不可分解。假设可分解为非平凡的 $V_1 \oplus V_2$ 则：
$$f_1f_2 = f_T = p_T = \operatorname{lcm}(p_1, p_2) \mid \operatorname{lcm}(f_1, f_2)$$
存在 $T$-不变分解使得 $T_{V_i}$ 准素循环分解。记 $q_i = p_{T_{v_i}} = f_{T_{v_i}}$, 则初等因子序列 $q_1, \cdots q_s$ 在不计次序意义下唯一。
由于准素分解是严格唯一的，我们可以直接使用准素分解对应子空间与循环分解对应子空间的交。
循环子空间的不变子空间循环。
$$p_T \mid p_{T_W} \cdot p_{T_{R\alpha/W}} \mid f_{T_W} \cdot f_{T_{R\alpha/W}} \mid f_T$$
取等，故 $p_{T_W} = f_{T_W}$.
Jordan 块 $J_n(c)$ 是指 $n$ 阶方阵：
$$ % TODO: 调整长宽比 \begin{pmatrix} c \cr 1 & c \cr & \ddots & \ddots \cr & & 1 & c \end{pmatrix} $$
其满足 $f_T = p_T = (x-c)^n$.
将 Jordan 块沿着对角线排出的就是 Jordan 标准型。
当 $f_T$ 为一次式之积时可由准素循环分解写出 Jordan 标准型。
这里我们采取的是把 $1$ 写在对角线下方而不是上方，因为希望有 $C_{x^n} = J_n(0)$.
对 $p_T = \prod (x-c_i)^{r_i}$, 有：
$$W_i = \ker [(T - c_i \cdot I)^{r_i}] = \ker [(T - c_i \cdot I)^n]$$
称为广义特征子空间/根子空间。
若 $V$ 是代数闭的域 $F$ 上的线性空间，则对 $T \in L(V)$ 存在唯一 $D, N \in L(V)$ 使得 $T = D + N$, 其中 $D$ 可对角化，$N$ 幂零且 $D, N$ 可交换。
先证存在性。若写成 Jordan 标准型则易见；另一种取法是：设 $p_T = \prod (x-c_i)^{r_i}$, 记 $q_i = (x-c_i)^{r_i}$, 则由中国剩余定理存在多项式 $f$ 满足：
$$f \equiv c_i \pmod {q_i}$$
取 $D = f(T), N = T - D$ 即可。
再证唯一性：现在有 $D, N$ 是 $T$ 的多项式满足条件，若还有 $D'+N'$ 满足条件，则我们易推出 $D, D', N, N'$ 交换。有 $D, D'$ 可同时对角化，从而 $D - D'$ 可对角化，同时 $N - N'$ 幂零，有 $(D-D') + (N-N')$ 是 $0$ 的 Jordan 分解。故 $D = D'$.
Remark
完全域
当 $F = \R$ 时，若 $A$ 在 $\Complex$ 上可以分解为 $D + N$, 则 $\bar{D} + \bar{N}$ 也是一个分解，则由唯一性知 $D, N$ 是实的。
这一结论可以推广到完全域（$K$ 完全域等价于 $K[x]$ 中无平方因子式在 $\bar{K}$ 中无重根，即 $a \in K \iff \sigma(a) = a, \forall \sigma \in \operatorname{Gal}(\bar{K}/K)$），因为可写作 $\sigma(A) = \sigma(D) + \sigma(N)$.
对有限维 $F$-线性空间 $V$ 及 $T \in L(V)$ 我们称：
- $T$ 半单，若 $V$ 的任一 $T$-不变子空间有 $T$-不变补空间
- $T$ 单纯，若 $V$ 无非平凡 $T$-不变子空间
实际上 $T$ 半单等价于 $p_T$ 无平方因式；$T$ 单纯等价于 $f_T$ 为素多项式。
小结论
尚待完成。
往年题
设 $\operatorname{char} F = 0$, $A \in F^{n\times n}$ 的特征多项式为 $(x - 1)^n$. 证明对任意正整数 $k$, $A^k$ 与 $A$ 相似。
不妨设 $A$ 循环，有 $p_A = (x - 1)^n$ 从而 $p_{A^k} = (x - 1)^n = f_{A^k}$.
$T, U \in L(V)$ 不可逆，并且 $TU$ 可对角化，证明 $(UT)^2$ 可对角化。
设 $TU$ 有极小多项式 $p$ 为一次式之积，则存在零化多项式 $g = x (x^2 - c_1^2) \cdots (x^2 - c_r^2)$. 有：
$$(xg)(UT) = UTg(UT) = Ug(TU)T = 0$$
对 $A \in \Complex^{2022\times 2022}$ 中至多十个非零矩阵元，求其最小多项式的最大次数。
易见 $11$ 可以取到，再证至多 $11$. 设 $T = L_A, W = \ker A$ 有 $p_{T_W} = x$, 则：
$$p_T \mid xf_{T_{V/W}}$$
而 $\deg f_{T_{V/W}} = \dim V/W \leq 10$. 故 $\deg p_T \leq 11$.
设 $n$ 为正整数，对于 $A \in \Complex^{n\times n}$ 证明以下两个条件等价：
- $A$ 可对角化
- 对任意非纯量多项式 $f \in \Complex[x]$ 存在 $B \in \Complex^{n\times n}$ 使得 $f(B) = A$
我们证 (2) 推 (1). 取 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，考虑 $B^n = A - \lambda I$. 考虑 $B$ 的 Jordan 标准型中 $0$ 对应的 Jordan 块，$n$ 次后会变为 $0$. 从而 $A$ 对应部分只有对角线上有 $\lambda$, 对应代数重数等于几何重数。
设 $F$ 为任意域，$V$ 为有限维非零 $F$-线性空间。对于 $T \in L(V)$ 证明以下两个条件等价：
- $p_T$ 为素多项式
- 对任意非零向量 $\alpha, \beta$ 存在与 $T$ 交换的线性同构 $S \in \mathrm{GL}(V)$ 使得 $S\alpha = \beta$
将 $V$ 视作 $F[x]$-模。
条件 (1) 可以看作 $V \simeq (F[x]/p)^n$. 其成立时，设 $\alpha = (f_1, \cdots, f_n), \beta = (g_1, \cdots, g_n)$, 取 $S$ 在第 $i$ 个分量上为：
$$\alpha_i \mapsto g_if_i^{-1}\alpha_i$$
条件 (2) 成立时，我们排除 $F[x]/p^k$ 与 $(F[x]/p) \oplus (F[x]/q) \simeq (F[x]/pq)$ 的情况。在此意义下 $T\alpha$ 就是将 $\alpha$ 对应多项式乘上 $x$, 而 $S, T$ 交换可知 $S\alpha$ 就是乘以 $S(1)$. 两种情况的反例是 $p \mapsto 1$ 与 $p \mapsto q$.
判断：设实矩阵 $A \in \R^{2\times 2}$ 满足 $A^2$ 与 $A$ 相似，则 $A^3$ 与 $A$ 也相似。
不正确。取：
$$A \sim \begin{pmatrix} \omega \cr & \omega^2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \cr \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
是否存在 $A, B \in \Complex^{9\times 9}$, 使得 $AB$ 相似于 $\operatorname{diag}(J_3(0), J_3(0), J_3(0))$, 且 $BA$ 相似于 $\operatorname{diag}(J_4(0), J_4(0), J_1(0))$.
设 $C = \begin{pmatrix} 0 & A \cr B & 0 \end{pmatrix}$ 则 $C^2 = \begin{pmatrix} AB & 0 \cr 0 & BA \end{pmatrix}$.
我们用到 $J_n(0)$ 的 Jordan 标准型是 $\operatorname{diag}(J_{[n_i/2]}(0), J_{[(n_i+1)/2]}(0))$.
注：实际上存在很精细的结论：非零特征值 Jordan 块对应相同，零特征值 Jordan 块可配对使阶数差 ≤ 1
判断：
- 对 $A, B \in \R^{2\times 2}$, 若存在 $P \in \mathrm{SL}_2(\Complex)$ 满足 $B = P^{-1}AP$, 则存在 $Q \in \mathrm{SL}_2(\R)$ 满足 $B = Q^{-1}AQ$.
- 设 $V$ 为有限维复线性空间，则对任意 $T \in L(V)$ 和任意 $T$-不变子空间 $W \subseteq V$, 总存在有限多个向量 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in V$ 和 $\beta_1, \cdots, \beta_s \in W$ 同时满足：
- $V = \bigoplus R\alpha_i, W = \bigoplus R\beta_j$
- 对任意 $j$ 存在 $i$ 使得 $R\beta_j \subseteq R\alpha_i$
(1) 不正确，这里问题出在 $\mathrm{SL}$ 上，我们让实矩阵 $Q$ 形如 $\operatorname{diag}(-1, 1)$ 给出 $A, B$ 关系，现在希望 $A$ 的中心化子行列式恒正，取 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix}$.
(2) 不正确。考虑 $T = \operatorname{diag}(J_3(0), J_1(0)), W = \operatorname{span}\set{e_3, e_2 + e_4}$.
设 $n = 2025$, $A = J_n(1) \in \Complex^{n\times n}$. 设 $c$ 满足：存在 $\Complex^{n\times 1}$ 的“非 $L_A$ 不变”的 $L_{A^2+cA}$-不变子空间，求 $c$ 的所有可能值。
考虑 $V \simeq \Complex[x]/(x-1)^n$. 子空间 $W$ 是 $A^2 + cA$-不变的即：
$$\alpha \in W \implies \alpha(x^2 + cx) = \alpha((x-1)^2+(c+2)(x-1)+(c+1)) \in W$$
由 $W$ 是空间，$\alpha((x-1)^2+(c+2)(x-1)) \in W$
$c \neq -2$ 时可取 $g$ 使 $g(y^2 + (c+2)y) \equiv y \pmod{y^n}$. 与 $L_A$-不变矛盾。
$c = -2$ 时，取 $W = \operatorname{span}\set{1, (x-1)^2, (x-1)^4, \cdots}$ 即可。