【草稿】几何学Ⅱ期末复习笔记
下半学期的内容是基本群和复叠空间。本文主要是啃一些大定理的证明。参考尤承业《基础拓扑学讲义》及 Allen Hatcher 的 Algebraic Topology 第一章。
引入
闭曲面分类
这里所说曲面是指二维（拓扑）流形，闭曲面是指没有边界点的紧致连通曲面。
在《基础拓扑学讲义》中流形的定义没有第二可数的要求。这会带来一些病态的例子，如 Alexandroff 长直线：对 $\omega_1 \times [0, 1]$ 每一区间首位相接。在听闻闭曲面分类定理时我疑心：如果有不可数个洞怎么办？但这里对闭曲面要求了紧致（这可以推出第二可数），是足够的。
我们定义对闭曲面的“环柄”手术是在该闭曲面上挖一个洞（挖去一个开圆盘），在环面上挖一个洞，然后粘起来。把球面上安 $n$ 个环柄得到的称为 $nT^2$ 亏格为 $n$ 的可定向闭曲面。
“交叉帽”是在洞口粘一条 Möbius 带，等效地说是把洞口的对径点粘合。把球面上安 $m$ 个交叉帽得到的称为 $mP^2$ 亏格为 $n$ 的不可定向闭曲面。有 $1P^2$ 就是 $P^2$，$2P^2$ 就是 Klein 瓶。
球面、$\set{nT^2 | n \in \Z^+}$ 及 $\set{nP^2 | n \in \Z^+}$ 不重复地列出了闭曲面的所有拓扑类型。
我们引入闭曲面的多边形表示：在一个偶数边的多边形上标字母和箭头，表示把对应的边粘在一起。我们选取一个顶点和顺/逆时针，可以简写为形如 $aba^{-1}b$ 的表达式（此例为 Klein 瓶）。
通过三角剖分（存在冗长的初等证明），可以证明任一闭曲面都有多边形表示。对于多边形手术我们可以做两类手术：粘合相邻的 $aa^{-1}$；选定一个字母 $a$，沿着某条对角线剪开，然后沿 $a$ 粘在一起。我们可以得到标准的多边形表示：
$$a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1} a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1} \cdots a_nb_na_n^{-1}b_n^{-1} \tag{T}$$
$$a_1a_1a_2a_2 \cdots a_mb_m \tag{P}$$
这样一来我们证明了除了不重复之外的事情。
基本概念
对 $f, g \in C(X, Y)$，称它们同伦 $f \simeq g$，如果存在连续映射 $H: X \times I \to Y$ 使得 $H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x)$. 此时称 $H$ 是 $f$ 与 $g$ 之间的同伦。
如果 $f$ 同伦于常值映射，称 $f$ 是零伦的。
这里说 $H$ 连续映射是指从积空间到 $Y$ 的按定义连续，而不是对两个参数分别连续。
我们还可以讨论 $H, K: f \simeq g$ 之间的同伦 $F: X \times I \times I \to Y$，称为“$2$-同伦”。注意这和“$2$ 阶同伦”是不同的东西。
对 $A \subseteq X$，如果 $H$ 还满足 $H(a, t) = f(t) = g(t)$，则称 $f$ 和 $g$ 相对于 $A$ 同伦 $f \simeq g \text{ rel } A$.
设 $a, b$ 是 $X$ 上的两道路，如果 $a \simeq b \text{ rel } \set{0, 1}$，则称它们定端同伦。在此等价关系下 $X$ 所有道路的等价类称为 $X$ 的道路类。当起点、终点重合时称为基点。
称 $f: X \to Y$ 是一个同伦等价，如果存在 $g: Y \to X$ 使得 $g \circ f \simeq \mathrm{id}_X, f \circ g \simeq \mathrm{id}_Y$. 此时称 $X$ 和 $Y$ 有相同的伦型 $X \simeq Y$. 这个关系比同胚弱（我们用 $X \cong Y$ 表示同胚）。
对 $A \subseteq X$ 及含入映射 $i: A \hookrightarrow X$，若存在 $r: X \to A$ 是收缩映射（$r \circ i = \mathrm{id}_A$），使得 $i \circ r \simeq \mathrm{id}_X$，则称 $A$ 是 $X$ 的形变收缩核。对应的 $H: \mathrm{id}_X \simeq i \circ r$ 称为一个形变收缩。如果 $H$ 还满足保持 $A$ 中的点不动，则称之为强形变收缩。
与单点空间同伦等价的称为可缩空间，此时其任一点都是形变收缩核。
基本群
给定空间 $X$ 与点 $x$，以基点 $x$ 的道路的同伦类为元素，道路的拼接为乘法，易见构成群，记作 $\pi_1(X, x)$.
若 $X$ 道路连通，易见基本群（的同构型）与 $x$ 无关，记作 $\pi_1(X)$. 道路连通且基本群平凡的空间称为单连通的。
$n$ 阶同伦群 $\pi_n(X, x)$ 的元素是从 $S^n$ 到 $X$ 带基点 $x$ 的连续映射的同伦类。若把 $S^n$ 视作 $I^n/\partial I^n$，则乘积定义为在第一个坐标上拼接。在 $n \geq 2$ 时一定是交换群。
$S^1$ 的基本群是 $\Z$.
使用复叠空间，这里略过。
读者容易证明，关于积空间有：
$$\pi_1(X \times Y, (x, y)) \cong \pi_1(X, x) \times \pi_1(Y, y)$$
从而 $\pi_1(T^2) = \Z \times \Z$.
如果拓扑空间 $X$ 可分解为开集 $U', U''$ 的并，$W = U' \cap U''$ 非空、道路连通，设：
$$ \begin{CD} W @>i'>> U' \cr @Vi''VV @VVj'V \cr U'' @>j''>> X \end{CD} $$
用 $[S]$ 表示正规闭包，对 $w \in W$ 有 $\pi_1(X, w) \cong \pi$，其中：
$$\pi = \pi_1(U', w) \ast \pi_1(U'', w) / [\set{i' _\pi(\alpha) i'' _\pi(\alpha^{-1}) | \alpha \in \pi_1(X, w)}]$$
不妨设 $U', U''$ 同在 $W$ 所在道路连通分支中。
同态 $(j') _\pi$ 与 $(j'') _\pi$ 唯一决定了一个 $\varphi: \pi _1(U', w) \ast \pi _1(U'', w) \to \pi _1(X, w)$. 它满足：
$$\varphi(i' _\pi(\alpha) i'' _\pi(\alpha^{-1})) = (j') _\pi i' _\pi(\alpha) \cdot (j'') _\pi i'' _\pi(\alpha) = 1$$
由 $\varphi$ 可以诱导出一个同态 $\Phi: \pi \to \pi_1(X, w)$，只需证它是同构。
先证 $\Phi$ 是满的，只需 $\varphi$ 是满的。对 $\gamma \in \pi_1(X, w)$，由于 $[0, 1]$ 是紧的，可取到足够大的 $n$ 将 $[0, 1]$ 进行 $n$ 等分，使得每个区间对应道路全在 $U'$ 中或全在 $U''$ 中，指定分割点到 $w$ 的道路将每一段改造为以 $w$ 为基点的，就找到了原像。
再证 $\Phi$ 是单的。对 $U'$ 或 $U''$ 中基点 $w$ 的道路 $\gamma$ 可以唯一指定 $\pi$ 中的一个元素 $[\gamma]$. 这一指定满足 $[\gamma \psi] = [\gamma] [\psi]$ 及在 $U'$ 或 $U''$ 中 $\gamma, \psi$ 定端同伦则 $[\gamma] = [\psi]$. 我们考察 $\varphi(\omega) = 1, \omega = [\gamma_1] \cdots [\gamma_n]$.
取 $\gamma$ 使得 $\gamma|_{[(i-1)/n, i/n]} = \gamma_i$，有 $\gamma$ 到 $\mathrm{id}_w$ 的同伦 $H: I \times I \to X$. 取 $m = kn$ 将 $I \times I$ 等分，使得每个小方块全在 $U'$ 中或全在 $U''$ 中，可分析知 $\omega = 1$.
可以作改进：$U', U''$ 为闭集，$W$ 是它一个开邻域的强形变收缩核。
使用此定理可以得到，对于 $nT^2$ 型曲面，$\pi_1(X)$ 的交换化是 $\Z^{2n}$，对于 $mP^2$ 型曲面，交换化是 $\Z^{m-1} \times \Z/2\Z$，故各不相同。基本群本身则恰好是所有的生成元商去多边形表示看成生成元关系的结果。
基本群（及高阶同伦群）的典型应用如下：
$D^n \to D^n$ 连续映射一定存在不动点。
假设没有不动点，则考虑 $g$ 如下：
$$g(x) = \frac{x - f(x)}{|x - f(x)|}$$
有 $\mathrm{id} _{S^{n-1}} \simeq g| _{S^{n-1}} = g \circ i$，而 $i: S^{n-1} \to D^n$ 是零伦的，矛盾。
对 $\mathbb{E}^2$ 上一条 Jordan 曲线 $J$，有 $\mathbb{E}^2 \setminus J$ 有两个连通分支，且都以 $J$ 为边界。
证明琐碎且用到 Tietze 扩张定理。由于存在初等证明，此处略去。
对 $U \subseteq \R^n$ 开，$f: U \to \R^n$ 连续且单，有 $f$ 是 $U \to f(U)$ 的同胚。
使用此可以得到“边界不变性” $\R^n \ncong \R^{n-1} \times [0, +\infty)$ 与“维数不变性” $\R^n \ncong \R^m$.
只需要证 $f(U)$ 开，进一步只需要证 $f(B_0(1))$ 包含 $f(0)$ 的一个开邻域。假设存在反例，我们希望构造 $g: \R^n \to \R^n$ 满足：
$$ \begin{cases} |x - g(f(x))| \leq 1 \cr g(f(x)) \neq 0 \end{cases} $$
这会使得 $x \mapsto x - g(f(x))$ 为 $B^n \to B^n$ 连续函数，且无不动点。
关于 $g$ 的构造略去。
复叠空间
对道路连通、局部道路连通的空间 $X, \tilde{X}$，称 $p: \tilde{X} \to X$ 为 $X$ 上的复（覆）叠（迭）空间，如果对任一 $x \in X$ 存在开邻域 $U$，满足 $p^{-1}(U)$ 是一族不交开集 $\set{V_\alpha}$ 的并，且 $p$ 把每个 $V_\alpha$ 同胚地映成 $U$. 此时称 $X$ 为底空间，满足上述性质的 $U$ 为基本邻域，$p^{-1}(x)$ 为 $x$ 上的纤维，其基数称为叶/页/层数。
由于叶数局部常值且 $X$ 连通，叶数与 $x$ 的选取无关。
典型的例子是 $S^1$ 的一个复叠空间是无限长弹簧，对应 $p: \mathbb{E}^1 \to S^1, x \mapsto e^{i\pi x}$. 基于此一个稍微不平凡的事实是：
$$ \begin{aligned} p: \mathbb{E}^2 & \to \mathbb{E}^2 \setminus \mathbf{0} \cr (x, y) & \mapsto (e^x \cos y, e^x \sin y) \end{aligned} $$
对于 $f: X \to X$ 同胚满足 $f^n = \mathrm{id}$ 且 $f^m (0 < m < n)$ 没有不动点，当 $X$ Hausdorff 时，容易证明 $p: X \to X/f$ 是叶数为 $n$ 的复叠。
对复叠 $p: \tilde{X} \to X$，称 $\tilde{f}: Y \to \tilde{X}$ 是 $f: Y \to X$ 的提升，如果 $p \circ \tilde{f} = f$.
设 $Y$ 连通，$\tilde{f_1}, \tilde{f_2}$ 都是 $f$ 的提升，且在某一点 $x_0$ 处 $\tilde{f_1}(x_0) = \tilde{f_2}(x_0)$，则 $\tilde{f_1} = \tilde{f_2}$.
令 $A = \set{x \in X | \tilde{f_1}(x) = \tilde{f_2}(x)}$，只需证 $A$ 既开又闭。用定义取出 $A$ 及 $A^\complement$ 任一点的邻域即可。
其推论是，对 $X$ 中道路 $\gamma$，设 $\gamma(0) = x$ 及 $e \in p^{-1}(x)$，存在唯一提升 $\tilde{\gamma}$ 使 $\tilde{\gamma}(0) = e$. 这里存在性是用 $[0, 1]$ 的紧性：对 $\gamma(I)$ 中的点的基本邻域，所有 $\gamma^{-1}(U)$ 是一个覆盖，取有限子覆盖，在 $\tilde{X}$ 中使用粘接引理即可。
这里以我无法想到的方式利用了紧性。如果从 $0$ 处开始每次在邻域中取点作新的邻域，则很难说明为什么会在有限步终止。
容易看到对 $e \in p^{-1}(x)$，有一个单同态 $p_\pi: \pi_1(\tilde{X}, e) \to \pi_1(X, x)$. 有 $[\pi_1(X, x) : p_\pi(\pi_1(\tilde{X}, e))]$ 等于 $p$ 的叶数。
$$ \begin{CD} Y @>\tilde{f}>> \tilde{X} \cr @V\mathrm{inj}_0VV @VVpV \cr Y \times I @>F>> X \end{CD} $$
存在 $\tilde{F}: Y \times I \to \tilde{X}$ 使图表交换。