群论（四）：特征子群；幂零群
特征子群
内自同构
回忆自同构群 $\mathrm{Aut}(G)$ 为全体 $G$ 的自同构构成的群，我们定义内自同构群 $\mathrm{Inn}(G)$ 为全体 $G$ 作用于自身的共轭（$\sigma(a) = g^{-1}ag$，称为内自同构）构成的群。所谓外自同构群则指：
$$\mathrm{Out}(G) \coloneqq \mathrm{Aut}(G) / \mathrm{Inn}(G)$$
我们知道共轭作用 $\mathrm{Ad}: S_n \to \mathrm{Aut}(S_n)$ 是单的。对 $n \neq 6$ 它是同构。
$n \neq 6$ 的例子略。$n = 6$ 时有一个不是内自同构的同构：
$$ \psi((12)) = (12)(34)(56) \\ \psi((23)) = (14)(25)(36) \\ \psi((34)) = (13)(24)(56) \\ \psi((45)) = (12)(36)(45) \\ \psi((56)) = (14)(23)(56) $$
其一种看法是，考虑自然的作用 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb F_5) \curvearrowright \mathbb P^1(\mathbb F_5)$，由于 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb F_5) \cong S_5$，我们考虑通过左平移作用：
$$S_6 \curvearrowright S_6 / \mathrm{PGL}_2(\mathbb F_5)$$
定义与性质
称 $G$ 的子群 $H$ 为它的特征子群 $H \text{ char } G$，如果对任意自同构 $\sigma$ 都有 $\sigma(H) = H$.
我们可以仿照它把正规子群的定义重写为：对任意内自同构 $\sigma$ 都有 $\sigma(H) = H$.
对群 $G$，典型的特征子群有：其中心 $Z(G)$；其幂子群 $G^n$；其导群 $G'$；其 Frattini 子群（所有极大子群的交）；其 Fitting 子群（所有幂零正规子群的积）；其挠子群（所有有限阶元素构成的群）；其 Ω 子群（所有阶整除 $p^i$ 的元素构成的群）。
容易证明，若 $K \text{ char } H$ 且 $H \unlhd G$，则 $K \unlhd G$；进一步，特征子群有传递性。
幂零群
中心链
类似于导群，我们定义 $G^0 = G, G^{i+1} = [G, G^i]$，得到降中心链：
$$G^0 \geq G^1 \geq G^2 \geq \cdots$$
可以证明 $G^i \unlhd G$ 及 $G^{(i)} \leq G^i$；如果某个 $G^c = \set{1}$，则称 $G$ 是幂零的，称最小的 $c$ 是其幂零阶。
我们可以考虑一个对偶的视角：令 $Z_0(G) = 1, Z_1(G) = Z(G)$，并令：
$$ \begin{CD} G @>\pi>> G/Z_i(G) \\ @A\mathrm{inj}AA @AA\mathrm{inj}A \\ Z_{i+1}(G) @>>> Z(G/Z_i(G)) \end{CD} $$
也就是说 $Z_{i+1}(G)$ 是 $G$ 中满足 $Z_{i+1}(G)/Z_i(G) \cong Z(G/Z_i(G))$ 的子群。得到升中心链：
$$Z_0(G) \leq Z_1(G) \leq Z_2(G) \leq \cdots$$
$G^c$ 平凡当且仅当 $Z_c(G) = G$，在此种条件下，有 $G^{c-i} \leq Z_i(G)$.
假设幂零，设 $c$ 最小使得 $G^c$ 平凡或者 $Z_c(G) = G$，对 $c$ 归纳。
记 $\pi: G \to G/Z(G)$，对 $H \leq G$ 记其在 $\pi$ 的像 $\bar H$，我们将证明（中间是归纳假设）：
$$G^c = \set{1} \iff (\bar G)^{c-1} = \set{1} \iff Z_{c-1}(\bar G) = \bar G \iff Z_c(G) = G$$
对左侧等价，讨论即可。对右侧等价，考虑 $Z_i(\bar G) = \overline{Z_{i-1}(G)}$，用类似这样的讨论：
结构
$p$-群都是幂零群。
所有 $p$-群中心非平凡，故升中心链可到达 $G$.
对 $p$-群 $P$，对非平凡正规子群 $H$，$H \cap Z(P)$ 非平凡；$H$ 是其真子群则是 $N_P(H)$ 的真子群。
对正规子群，考察 $P$ 在 $H$ 上的共轭作用，有：
$$H = \bigsqcup_i \mathrm{Orb}(a_i)$$
$\mathrm{Stab}(a_i) = P$ 当且仅当 $a_i \in Z(P)$，从而：
$$|H \cap Z(P)| \equiv \sum_i |\mathrm{Orb}(a_i)| \equiv |H| \equiv 0 \pmod p$$
对真子群，对 $|P|$ 归纳，若 $Z(P) \not\subseteq H$，则由 $Z(P) \subset N_P(H)$ 知成立；否则考察 $H/Z(P), P/Z(P)$.
对有限群 $G$ 有阶 $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}$，设 $P_i$ 是某个 Sylow $p_i$-子群，则以下条件等价：
- $P$ 幂零
- $H$ 是其真子群则是 $N_P(H)$ 的真子群
- 所有 Sylow 子群正规
- $G \cong P_1 \times P_2 \times \cdots \times P_r$
大定理
回忆 Hölder 纲领，我们希望从 $N$ 与 $G/N$ 拼出 $G$ 的结构，不过这比较复杂。
对 $N \unlhd G$，若 $|H|$ 与 $|G/N|$ 互素，
- 存在 $H \leq G$ 使得 $\pi|_H: H \to G/N$ 是同构，称为“补”
- 若 $N$ 与 $G/N$ 之一可解，则所有的“补”互相共轭
使用群上同调理论可以说明定理对交换的 $N$ 成立。然后可以归结到交换的情形（证明略）。
这个定理与 Burnside 正规补定理可以用来证明 P. Hall 定理。