群论（一）：群在集合/群上的作用

在历史上，首先出现的概念是具体的集合上的对称/变换群（取元素为双射，运算为复合），然后才从中抽象出了群的概念。因此，自然地，我们可以考察群到集合的对称群的同态。

群在集合上的作用

群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上的作用（记 $G \curvearrowright \Omega$）是一个映射：

$$ \begin{aligned} \varphi \colon G & \longrightarrow (\Omega \longrightarrow \Omega) \cr x & \longmapsto (\alpha \longmapsto \alpha^x) \end{aligned} $$

满足 $(\alpha^x)^y = \alpha^{xy}$，这给出单位元对应恒等映射，逆元对应逆映射。或者说，$\varphi$ 是从 $G$ 到 $\Omega$ 上对称群的同态。

它有时被写成不同的形式，如：

$$ \begin{aligned} f \colon G\times S & \longrightarrow S \cr (g, s) & \longmapsto g(s) \end{aligned} $$

个人认为前一种看法更直观一些。只不过对一些群以外的范畴，不一定笛卡尔闭，不一定能写成前一种形式。

记集合元素 $\alpha$ 在这一关系下的等价类为其轨道：

$$\mathrm{Orb}(\alpha) \coloneqq \set{\alpha^x | x\in G}$$

记全体不变映射为其稳定化子，满足 $|\mathrm{Orb}(\alpha)| = |G\colon \mathrm{Stab}(\alpha)|$：

$$\mathrm{Stab}(\alpha) \coloneqq \set{x | \alpha^x = \alpha}$$

作为一个例子，对于正四面体（记顶点 $\set{A, B, C, D}$），设其旋转变换群为 $G$，则：任取一个顶点，它对应的稳定子群阶为 $3$，轨道为 $\set{A, B, C, D}$，故而 $G$ 是 $S_4$ 的 $12$ 阶子群，必然是 $A_4$.

平移作用

左平移作用是在 $G$ 的集合上的作用：

$$ \begin{aligned} \varphi(g) \colon G & \longrightarrow G \cr h & \longmapsto gh \end{aligned} $$

设 $n / p$ 阶子群 $H$，考察左平移作用 $G \curvearrowright G/H$，这给出了 $\varphi: G \to S_p$ 同态。

一方面，$\operatorname{Im} \varphi \leq S_p$，故 $|\operatorname{Im} \varphi|$ 整除 $p!$；另一方面 $\ker \varphi \leq H$，有 $|\ker \varphi| \cdot [H : \ker \varphi] = n / p$，相乘即 $[H : \ker \varphi] \mid (p - 1)!$，只能为一。

故 $H = \ker \varphi$，而 $\ker \varphi$ 正规，故 $H$ 正规。

半直积

对于 $\phi: H \to \mathrm{Aut}(N)$，我们定义半直积 $N\rtimes_\phi H$ 是：

$$ N\rtimes_\phi H \coloneqq \set{(n, h) | n \in N, h \in H} \\ (n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) = (n_1 \cdot \phi_{h_1}(n_2), h_1 h_2) $$

典型的例子是 $D_{2n} = Z_n \rtimes Z_2$.

我们有 $N$ 是如下满同态的核，故 $N$ 是正规子群：

$$ \begin{aligned} \pi: N\rtimes H & \longrightarrow H \cr (n, h) & \longmapsto h \end{aligned} $$

$$\mathrm{Ad}_h(n) = hnh^{-1}$$

Pólya 计数法

使用 Pólya 计数法是为了解决这样的问题：我们对所有的可能计数，并且将具有特定对称性的视作同一种（见下面的例子）。

对所有满足 $x^g = x$ 的数对的算两次（分别对 $g, x$ 计数）。

旋转对称群大小 $|G| = |\mathrm{Orb}(x)|\cdot |\mathrm{Stab}(x)| = 24$.

集合 $\Omega$ 是六个面的染色状态构成的集合，作用 $\varphi$ 使得 $\varphi(g)$ 是进行 $g$ 对应的旋转操作。所求即它的轨道数。

$X(g)$ 只在单位元处取到 $720$，其余情况为空集。故所求为 $30$.

定义同上。

对 $G$ 中元素分类，算得 $57$.

共轭作用

共轭作用是在 $G$ 的集合上的作用：

$$ \begin{aligned} \varphi(g) \colon G & \longrightarrow G \cr a & \longmapsto gag^{-1} \end{aligned} $$

记 $G$ 上 $\set{x}$ 的中心化子 $C_G(x) = \set{a | xa = ax}$，中心 $Z(G) = \set{x | gx=xg, \forall g}$. 有 $x\in Z(G)\iff |\mathrm{Orb}(x)| = 1$.

那么我们可以写出类方程：

$$|G| = |Z(G)| + \sum_{y_i \notin Z(G)} [G : C_G(y_i)]$$

称阶是素数 $p$ 的幂的群为 $p$-群。

对 $y_i \notin Z(G)$，有 $C_G(y_i)$ 是真子群，$p \mid [G : C_G(y_i)]$，由类方程知 $p \mid \#Z(G)$，从而中心非平凡。

Sylow 定理

对有限群 $G$ 和素数 $p$ 使 $p^l$ 恰整除 $|G|$，以下设 $|G| = p^l m$，称 $G$ 的 $p^l$ 阶子群为其 Sylow $p$-子群。

记 $H$ 在 $G$ 中正规化子是：

$$N_G(H) = \set{G | gHg^{-1} = H}$$

对 $|G|$ 归纳：

• 若 $p\mid Z(G)$，由于 $Z(G)$ 交换，可以分解为循环群的直积¹，分解中可提取 $p$ 有关部分；对 $G / Z(G)$ 用归纳假设
• 若 $p\nmid Z(G)$，由类方程，存在一个 $p\nmid \mathrm{Orb}(g_i)$，有 $p^l\parallel C_G(g_i)$，对 $C_G(g_i)$ 用归纳假设

对一个 $p^k$ 阶子群 $H$，考察 $H$ 在 $G/P$ 上的左平移作用 $\varphi(h)(aP) = haP$，有 $|\mathrm{Orb}(aP)|$ 整除 $|H|$，且：

$$[G : P] = \sum_{aP} 1 = \sum |\mathrm{Orb}(aP)| \not\equiv 0 \pmod{p}$$

故至少一个 $|\mathrm{Orb}(aP)| = 1$，这个 $a$ 给出 $H\subseteq aPa^{-1}$.

由上一定理，对 $G$ 的 Sylow $p$-子群 $P$，有 $P$ 是 $N_G(P)$ 唯一的正规子群。

令 $\Omega$ 为 Sylow $p$-子群的集合，考察 $P$ 在 $\Omega$ 上的共轭作用 $\varphi(p)(Q) = pQp^{-1}$，有 $|\mathrm{Orb}(Q)| = 1$ 当且仅当 $Q = P$，否则整除 $|P|$，

$$n_p = \sum |\mathrm{Orb}(Q)|\equiv 1\pmod{p}$$

又由下式知 $n_p \mid m$：

$$n_p = |G/N_G(P)| = \frac{|G|}{|N_G(P)|} = \frac{p^l \cdot m}{p^l \cdot [N_G(P) : P]}$$

Sylow $q$-子群恰一个，从而正规。而 $n_p = 1$ 或 $q$，对前一情形，有 $P\cap Q = \set{e}, G = QP$，可知：

$$G\cong P\oplus Q\cong \Z_p\oplus \Z_q\cong \Z_{pq}$$

对 $n_p = q \equiv 1 \pmod{p}$，有 $G = Q \rtimes P$，对应于同态：

$$ \begin{aligned} \Z_p \simeq P &\stackrel \eta \longrightarrow \mathrm{Aut}(Q) \cong \mathrm{Aut}(\Z_q) \cong \Z_q^\times \\ y &\longmapsto (x \mapsto yxy^{-1} = y^a) \longmapsto a \end{aligned} $$

在同构意义下这个半直积是唯一的。因为另外的同态必形如：

$$ \begin{aligned} \eta_i: \Z_p &\longrightarrow \Z_q^\times \\ \sigma &\longmapsto a^i \end{aligned} $$

然后就可给出如下同构：

$$ \begin{aligned} Q \rtimes_{\eta_1} \Z_p &\longrightarrow Q \rtimes_{\eta_i} \Z_p \\ (y, c) &\longmapsto (y, ic) \end{aligned} $$

假设是单群，$n_2, n_3, n_{11} \neq 1$，有 $n_{11} = 12$，由于对应的 Sylow 子群只有平凡交，至少存在 120 个元素阶 11；同理至少存在 8 个元素阶 3；至少存在 7 个元素阶 2，而 $135 > 132$ 矛盾。

关于判断不是单群的其它方法，可以参考 1000 以内的不是单群证明。

还有一些 $n$ 阶群必循环当且仅当 $(n, \varphi(n)) = 1$ 之类的结果，读者可以尝试证明。

• 将 $G$ 用自由群表示法表示为 $\braket{g_1, g_2, \dots, g_n \mid \text{rules}}$
• 由于是交换群，可以将一个规则（形如 $g_1 g_2^{-1} g_1^2$）任意交换顺序写成 $3x_1-x_2=0$ 的形式
• 所有的规则写成线性方程组，表示为 $$M \begin{pmatrix} g_1 \cr \vdots \cr g_n \end{pmatrix} = \mathbf{0}$$
• 由于我们在整数上操作，它是 Euclid 整环，可以将矩阵 $M$ 转化为 Smith 标准型
• 其因子给出了 $G$ 的分解