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数学分析Ⅱ期末复习笔记
本文用于准备数学分析Ⅱ的期末考试。这半学期的内容是函数项级数（一致收敛）、幂级数与多元函数微分学。…
天使与方格吞噬者问题的策略模拟
天使问题发生在一张无限大的整数网格棋盘上，天使初始在原点 $(0, 0)$ 处。每回合，先由魔鬼禁用掉任意一个格子，然后天使尝试移动到一个未被禁用的格子。天使的移动受力量值 $K$ 约束：若当前在 $(x, y)$ 则下一步位置需满足 $|x' - x|, |y' - y| \leq K$. 天使的胜利条件是总是有方法移动下去。…
集合范畴基本理论（ETCS）简介
ETCS 是 Lawvere 的集合范畴基本理论（Elementary Theory of the Category of Sets）。
对此会有一个误解是认为其基本动机是用范畴论来取代集合理论，其实不然，它就是集合论。这些公理是受范畴启发的，并不依赖于拥有一个一般的范畴的定义。…
一阶逻辑的元定理与边界
命题逻辑对推理的分析无法满足我们的需求，我们还需要对“所有”这样的词语分析，因而有了一阶逻辑，在满足一定条件下它是表达能力最强的逻辑系统，但也有其边界。…
命题模态逻辑与知识逻辑
发展出（命题）模态逻辑的动机来自于，命题逻辑的实质蕴涵并不总是与自然语言的“如果……那么……”完全相符，因为自然语言中还携带了因果、时间、规范、认知、反事实等信息。由于精力有限，本文涉及的内容会远少于对应的课程讲义。…
关于滤子：极限及“最终”模态词诱导
起因是听说 Lean 现在的 mathlib 中实数是依靠滤子定义的（但实际搜索了一下发现当前版本还是改为用 Cauchy 序列定义）。…
高等代数Ⅱ期中复习笔记
本文用于准备高等代数Ⅱ的期中考试。这半学期的内容是推进到准素循环分解，其动机是尽可能精细的直和分解。…
几何学Ⅱ期中复习笔记
这半学期的主要内容是古典微分几何，即嵌入 $\mathbb{E}^3$ 看的曲线论与曲面论。本文略去关于 Christoffel 记号的内容，这见于之后黎曼几何。…
数学分析Ⅱ期中复习笔记
本文用于准备数学分析Ⅱ的期中考试。这半学期的内容是定积分（Riemann 积分），广义积分（无穷积分与瑕积分）与数项级数（更多的敛散性判断与计算）。…
经典命题逻辑及其强完全性证明
这一节主要讨论的是经典命题逻辑（不同于它的均称为“非经典”），重点在于其强完全性的证明。…
形式系统概念与可靠性、完全性证明
选了哲学系开的Ⅲ类通识课“逻辑导论”。此文主要是做习题（之后大概也会如此），因此先快速掠过定义：…
类型论导引与 Martin-Löf 类型论
发现到时候不一定要读数院的研，考虑可以做逻辑学或者是 AI for math. 仔细阅读本书 Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. 这是上学期计概老师推荐的，但当时看得太粗略了。本文包含该书第一章内容。…
基于有限域上数论的密码系统
主要参考的是 An Introduction to Mathematical Cryptography 第二章离散对数、第三章整数分解及第四章数字签名。…
几何学Ⅰ期末复习笔记
需要特别记忆的定义和结论 & 考后总结。
数学分析Ⅰ期末复习笔记
本文用于准备数学分析Ⅰ的期末考试。包含往年题、习题课需要记忆的结论与技巧 & 考后总结。…
Banach–Tarski 分球定理的证明细节
Banach–Tarski 分球佯谬说的是，可以把 $\R^3$ 中的单位球分成有限个（可以做到 5 个）点集的无交并，仅用旋转与平移重新拼合，得到两个完整的单位球。这从纯集合论角度是合理的，但整个结论是反直觉的。…
高等代数Ⅰ期末复习笔记
本文用于准备高等代数Ⅰ的期末考试，包含往年题选做和可能有用的知识扩充 & 考后总结。…
一些泛性质使用的习题选做
选做 Saunders Mac Lane 的书 Categories for the Working Mathmatician 第二版中一些不废话的习题，包含 Ⅱ. Constructions on Categories 及 Ⅲ. Universals and Limits 的 1. Universal Arrows 节。…
单复变（三）：Weierstrass 级数理论
一般认为 Cauchy 积分理论、Weierstrass 级数理论和共形映射理论是单复变函数理论中的三个最重要的组成部分。
本章内容为 Laurent 级数与留数。…
光滑流形（一）：切空间与微分形式
本文原本动机是了解 $\partial/\partial x$，$\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ 及更复杂的记号在一般的流形上的推广是什么。由于学校本学期（2026秋）开不出《微分流形与拓扑》“几何三”，此系列被重新整理，结合 GTM 218 (Introduction to Smooth Manifolds) 及 2024 课程大纲、2022 课程笔记。…