单复变（二）：Cauchy 积分理论

复变会告诉你：性质好的函数性质有多好。

路径积分

路径无关性

路径积分的定义可参考数学分析中作 Riemann 和，或者（对参数化 $\gamma: [a, b] \to \Complex$）考虑：

$$\int_{\gamma} f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t)) \mathrm{d}\gamma(t) = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) \mathrm{d}t$$

或者直接对微分算子进行：

$$\int_{\gamma} (u + \mathrm{i}v)(\mathrm{d}x + \mathrm{i} \cdot \mathrm{d}y) = \int_{\gamma} (u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y) + \mathrm{i}\int_{\gamma} (u\mathrm{d}y + v\mathrm{d}x)$$

例如说，对闭曲线 $\gamma$ 和 $n\neq -1$，有：

$$\oint_{\gamma}z^n \mathrm{d}z = \left.\frac 1 {n+1} z^{n+1}\right|_{\gamma(0)}^{\gamma(1)} = 0$$

$n = -1$ 时考虑 $\gamma(\theta) = re^{\mathrm{i}\theta}$，换元知积分结果 $2\pi\mathrm{i}$；若原点不在曲线内部，则化为 $\oint \mathrm{d}\ \mathrm{Ln}z = 0$；通过曲线加减法可以推知，对所有把 $0$ 包含在内部的闭曲线，此积分结果均为 $2\pi\mathrm{i}$.

我们来说明一个更一般的结论：

如果全纯的条件改为解析，则使用 Green 公式即可。然而我们还没有证明这两个条件等价。Goursat 的证法是：对于三角形（一般图形作三角剖分），连接四边中点得到 4 个全等三角形，有：

$$\oint_{\partial T} f(z)\mathrm{d}z = \sum_{i=1}^4 \oint_{\partial T_i} f(z)\mathrm{d}z$$

至少有一个三角形这个积分模长大于等于 $1/4$ 的原积分模长。不断取这样的三角形作 4 等分，由闭集套定理得到一点 $z_0$，设：

$$f(z) = f(z_0) + f'(z_0) (z - z_0) + o(z - z_0)$$

故对 $\varepsilon > 0$，对充分大的 $n$ 有 $T^{(n)}$ 上积分模长小于等于 $\varepsilon \cdot \mathrm{diam}(T^{(n)}) l(\partial T^{(n)})$，小于等于 $4^{-n} \varepsilon \cdot \mathrm{diam}(T) l(T)$，故知原积分只能为零。

易见这个定理说的是路径积分的值只与起点、终点有关，而与选取的路径无关，故给出：

取充分大的 $N$，使得分成 $N \times N$ 的小方格后每一块在某个 $\Omega$ 中开圆盘中，由正常版 Cauchy 定理知其上积分与路径无关，拼在一起即可。Cauchy 定理的同调版本略去。

取一个邻域 $\overline{D(z, \varepsilon)}$ 在 $\Omega$ 内，则显然可以将 RHS 中沿着 $\partial \Omega$ 积分改为沿着 $|w - z| = \varepsilon$ 积分。使用熟悉的局部线性化然后让 $\varepsilon \to 0$ 即可：

$$f(w) = f(z) + f'(z)(w - z) + o(w - z)$$

全纯的等价性

我们现在可以证明全纯函数和解析函数是等价的条件了。其中解析推全纯是容易的，因为幂级数在收敛半径内全纯。

若已知全纯，对 $z_0 \in \Omega$，取它在 $\Omega$ 中充分小的闭邻域 $\overline{D(z_0, r)}$，则由 Cauchy 公式：

$$f(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \oint_{|w-z_0| = r}\frac{f(w)}{w - z}\mathrm{d}w$$

我们作以下展开（其中充分小使得 $\sup |z-z_0| / |w-z_0| < 1$）：

$$\frac{1}{w - z} = \frac{1}{w - z_0} \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{z - z_0}{w - z_0}\right)^n$$

该级数是一致收敛的，从而代入得：

$$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}(z - z_0)^n \oint_{|w-z_0| = r} \frac{f(w)}{(w - z_0)^{n+1}} \mathrm{d}w$$

即所求的幂级数。可喜可贺！进一步地，若 $f$ 是全纯的，则 $u, v$ 都是实解析的。

对于 $|z - z_0| < \rho, \overline{D(z_0, \rho)} \subset \Omega$ 都有上述式子成立，故对定义域圆盘的解析函数，在圆心处幂级数展开总是在整个圆盘上收敛。定义域 $\Complex$ 的解析函数同理，我们称为整函数，其中不为多项式的称为超越整函数，幂级数展开如下：

$$ f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_k z^k \\ a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \frac 1 {2\pi\mathrm i} \oint_{|w|=r} \frac{f(w)}{w^{k+1}} \mathrm dw $$

实际上只需验证对所有的三角形区域 $D$ 即可。我们考虑任意 $D(z_0, \varepsilon) \subseteq \Omega$，可良定义：

$$F(z) = \int_{z_0}^z f(w)\mathrm{d}w$$

其满足 $F' = f$ 即全纯，从而 $F$ 是解析的，从而 $f$ 是解析的。

证明在前过程中。对非单连通区域，$\Complex \setminus \set{0}$ 上的 $f(z) = 1 / z$ 即为反例。

幂级数工具

零点阶数

对一个指定的区域 $\Omega$ 上的解析函数 $f$，我们令无穷阶零点集：

$$S = \set{z \in \Omega | f'(z) = f''(z) = \cdots = 0}$$

由连续性知 $\set{f^{(n)}(z) = 0}$ 为闭集，其无限交 $S$ 为闭集。又，对 $z_0\in S$ 有 $f$ 在其某个邻域内可展成幂级数，且该邻域 $D(z_0, \varepsilon) \subseteq S$，故 $S$ 为开集。我们知道 $\Omega$ 连通，从而 $S$ 要么是空集要么是整个 $\Omega$（此时 $f$ 在 $\Omega$ 上常值）。

这就给出了结论：对区域 $\Omega$ 上的非常值解析函数 $f$ 及任一点 $z_0$，存在自然数 $m$，使 $f'(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0) = 0$ 而 $f^{(m)}(z_0) \neq 0$. 此时称 $m$ 为 $f$ 在 $z_0$ 处的局部重数/分歧指数；当 $z_0$ 是零点时，称为零点阶数/消没次数。

此时，有 $f(z) - f(z_0) = (z - z_0)^m g(z)$，其中 $g$ 解析。这可以一般地定义为：

$$ g(z) = \begin{cases} (f(z) - f(z_0)) / (z - z_0)^m & z \neq z_0 \cr f^{(m)}(z_0) / m! & z = z_0 \end{cases} $$

这将给出如下结论：

对一个零点，考察对应的 $g$，由解析推连续知存在某个邻域使 $g$ 处处非零，从而 $f$ 在去心邻域内处处非零。

这是因为该极限点是 $f - g$ 的非孤立零点。

如果极限点不在 $\Omega$ 内，则取 $z_n = \frac 1 {n\pi}$ 有反例 $f(z) = \sin \frac{1}{z}$ 与 $g(z) = 0$.

平面区域的映射

由于对 $f(z) - f(z_0)$ 的 $m$ 阶零点有 $f(z) - f(z_0) = (z-z_0)^m g(z)$，我们可进一步取全纯的 $h^m = g$ 使 $f(z) - f(z_0) = ((z-z_0) h(z))^m$.

令 $\varphi(z) = (z-z_0) h(z)$，则 $\varphi'(z_0) = h(z_0)\neq 0$，取 $z_0$ 的邻域使 $\varphi'(z)$ 总在某个过原点直线的一侧，有 $\varphi$ 为其上解析同胚。

只需 $f(\Omega)$ 开。对 $w_0 = f(z_0)$，其中 $z_0$ 为 $f(z)-f(z_0)$ 的 $m$ 阶零点，存在 $w_0$ 的邻域 $O$，使其中点在 $z_0$ 邻域内有 $m$ 个原像，故 $O\subset f(\Omega)$.

进而我们知道对单叶解析函数 $f$，它是 $\Omega\to f(\Omega)$ 的解析同胚；若 $f'(z_0) = 0$，设 $f(z) - f(z_0) = \psi^m(z) \, (m \geq 2)$，则在一个邻域上 $\psi$ 取到含 $0$ 的开集，含有一对 $w, w\omega_m$，从而 $f$ 不单。

因为 $f(z_0)$ 是 $f(D(z_0, \varepsilon))$ 的内点。这表明闭区域中最大值只能在边界处取到。

将 $P$ 视作 $\bar{\Complex} \to \bar{\Complex}$ 的连续映射，其不为常数，故 $P(\bar{\Complex})$ 为开集，而 $\bar{\Complex}$ 是紧的，故 $P(\bar{\Complex})$ 为闭集。从而 $P(\bar{\Complex}) = \bar{\Complex}$.

积分工具

Cauchy 估计

我们可以用 $|f(z)|$ 在区域内的最大值控制任意的 $|f^{(n)}(z)|$：

不妨设 $\Omega = D(z_0, R)$，对 $r < R$ 考虑下式，然后让 $r \to R$ 即可：

$$ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi\mathrm{i}} \oint_{|w-z_0| = r}\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\mathrm{d}w \\ |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \oint_{|w-z_0| = r} \left|\frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\right| |\mathrm{d}w|\leq \frac{n!M}{r^n} $$

在先前结论中取 $r \to +\infty$，就有 $|f'(z_0)|$ 只能取零。

这表明：在解析同胚意义下，$\Complex$ 中单连通区域至少有 $\Complex$ 和 $D(0, 1)$ 两类。之后会说明恰有这两类。

假设结论不成立，从开集 $\Complex \setminus \overline{f(\Complex)}$ 中取一个 $z_0$，则有 $g(z) = 1 / (f(z) - z_0)$ 有界，矛盾。

不妨假设 $f$ 取不到 $0, 1$ 两点。取 $\lambda: D(0, 1) \to \Complex \setminus \set{0, 1}$ 的万有复叠，则 $f$ 可以被提升成全纯的 $\bar f$，有 $\bar f$ 是有界的，故 $\bar f$ 常值，从而 $f$ 常值。

对万有复叠构造，我们知道级 $2$ 的主同余子群 $\Gamma(2)$ 的基本区域 $Y(2) \cong \mathbb{P}(\Complex) \setminus \set{0, 1, \infty}$，同构的构造是：

$$\lambda(\tau) = \frac{\vartheta_2(0,\tau)^4}{\vartheta_3(0,\tau)^4}$$

平均值

这可直接由 Cauchy 公式得到。

这给出平均值不等式：

$$|f(z_0)| \leq \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + re^{i\theta})| \mathrm{d}\theta$$

而对 $r$ 积分有：

$$ f(z_0) = \frac{1}{\pi R^2} \iint \limits_{D(z_0, R)} f(z) \mathrm{d}S \\ |f(z_0)| \leq \frac{1}{\pi R^2} \iint \limits_{D(z_0, R)} |f(z)| \mathrm{d}S $$

平方可积解析函数

我们假定下文中区域 $\Omega$ 以有限条逐段光滑曲线为边界。

对 $\Omega$ 上的复值函数 $f$，称它为平方可积函数，若 $|f(z)^2|$ 在其上广义可积。其全体记作 $A^2(\Omega)$，这是复线性空间，因为对 $f, g\in A^2(\Omega)$，有 $|f(z) + g(z)|^2 \leq 2(|f(z)|^2 + |g(z)|^2)$，从而 $f + g\in A^2(\Omega)$.

我们进一步在其上定义如下内积，可验证确满足内积条件：

$$\braket{f, g} = \iint\limits_\Omega f(z) \overline{g(z)} \mathrm{d}S$$

现在可以给出一个最大模原理的新证明：假设 $z_0 \in \Omega$ 是 $|f(z)|$ 最大值点，有：

$$\iint\limits_{D(z_0, R)} |f(z_0)|^2 \mathrm{d}S \geq \iint\limits_{D(z_0, R)} |f(z)|^2 \mathrm{d}S$$

对 $\braket{f, \mathbf{1}}$ 使用 Cauchy 不等式，得到：

$$ \iint\limits_{D(z_0, R)} |f(z_0)|^2 \mathrm{d}S \geq \frac 1 {\pi R^2} \left|\iint\limits_{D(z_0, R)} f(z) \mathrm{d}S\right|^2 = \pi R^2 |f(z_0)|^2 $$

取等，故有 $|f(z)|^2 \equiv |f(z_0)|^2$，只能常值。

我们称单位正交函数系是指一族 $\braket{\varphi_i, \varphi_j} = \delta_{ij}$，如果它是极大的，则进一步称为完备单位正交函数系。

我们考虑函数 $f$ 对于一族完备单位正交函数系的形式级数：

$$f(z) \sim \sum_{n=1}^\infty \braket{f, \varphi_n} \varphi_n(z)$$

称为 $f$ 关于 $\{\varphi_n\}$ 的 Fourier 级数。它均方收敛且内闭收敛于 $f$.

Schwarz 引理

考虑 $f$ 在 $0$ 处展开成的幂级数 $a_1z + a_2z^2 + \cdots = zg(z)$，有 $g$ 在单位圆盘内解析。

对 $z_0$，取 $|z_0| < r < 1$，由最大模原理有 $|g(z)| \leq \max_{|w| = r} |g(w)| \leq 1 / r$，令 $r \to 1$ 即有 $|f(z_0)|\leq |z_0|$；取等条件即 $g$ 为常值。

我们可以用 Schwarz 引理给出单位圆盘的解析自同胚群：因为 $f$ 与 $f'$ 均可经分式线性变换转为满足 Schwarz 引理的条件，知只能是分式线性变换，形如：

$$f(z) = e^{\mathrm{i}\theta} \frac{z - z_0}{1 - \bar{z_0}z}$$

由于这些变换可以将单位圆盘中指定的一点变成另一指定的点，可以得到：

其微分版本形式为：

$$\frac{|\mathrm{d}f(z)|}{1 - |f(z)|^2}\leq \frac{|\mathrm{d}z|}{1 - |z|^2}$$

我们在单位圆盘上定义新的弧长微元（称为 Poincaré 度量）：

$$ \mathrm{d}s = \frac{|\mathrm{d}z|}{1 - |z|^2} \\ \mathrm{d}s^2 = \frac{\mathrm{d}z \mathrm{d}\bar z}{(1 - |z|^2)^2} $$

就可定义分段光滑曲线的非欧长度、非欧距离、测地线等，此过程与一般的做法相同：

$$\rho(z_1, z_2) = 2\tanh^{-1} \left|\frac{z_1 - z_2}{1 - \bar{z_1}z_2}\right|$$