光滑流形上的微分与微分形式

我们希望了解 $\partial/\partial x$，$\mathrm{d}/\mathrm{d}x$ 及更复杂的记号本质上/在一般的流形上是什么。本文不涉及层论视角。

参考阅读 Introduction to Smooth Manifolds (GTM 218).

我们回顾光滑流形是在普通的拓扑流形上加上一个（最大的）光滑结构（包含一组光滑坐标卡）。

一个 $f: M \to \R$ 是光滑函数指在每个光滑坐标卡 $(U, \varphi)$ 处，有 $f \circ \varphi^{-1}$ 在 $\R^n$ 的多元微积分意义下是光滑的。全体光滑函数构成的 $\R$-线性空间记作 $C^\infty(M)$.

对 $f, g \in C^\infty (M)$，我们用 $fg$ 表示逐点乘积。

对一个光滑流形（或带边光滑流形）$M$，一个线性映射 $D:C^\infty (M)\to\R$ 是点 $p$ 处的导子，如果它满足 Leibniz 律：

$$D(fg) = f(p)D(g) + g(p)D(f)$$

$p$ 处 $C^\infty (M)$ 的全体导子构成 $M$ 在 $p$ 处的切空间，易见是线性空间，记作 $T_pM$.

作为一个简单的例子，我们来证明 $T_p\R^n$ 是由多元微积分意义下的 $\frac{\partial}{\partial x_ i}|_ p$（即把 $\frac{\partial}{\partial x_ i}$ 看作 $e_i$，$\frac{\partial f}{\partial x_ i}|_ p$ 是指方向导数 $\nabla_ {\frac{\partial}{\partial x_ i}} f|_ p$）张成的空间：

1. 使用 Leibniz 律知 $D(\mathbf{1}) = 0$，故常值函数对应到 $0$
2. 考虑 $f(x) = f(p) + \sum (x_i-p_i)g_i(x)$，其中 $g_i(x) = \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i} (p+t(x-p)) \mathrm{d}t$ 是光滑的，我们将值看作常值函数，$x_i$ 看作投射函数，然后让 $D$ 作用在该式上

使用此可进一步证明：若 $M$ 是 $n$ 维光滑流形，则任一 $T_pM$ 都是 $n$ 维向量空间，此结论甚至可以推广到带边光滑流形的边界上。

因此，我们可以说把这个向量空间里的向量作用到函数上：

$$\frac{\partial f}{\partial x_ i} = \frac{\partial}{\partial x_ i}(f)$$

对光滑流形（或带边光滑流形）$M$ 与 $N$ 及光滑映射 $F: M\to N$，在 $M$ 上每一点 $p$ 我们定义 $F$ 在 $p$ 处的微分为：

$$ \begin{aligned} \mathrm{d}F|_ p \colon T_pM & \to T_{F(p)}N \cr v & \mapsto (f \mapsto v(f \circ F)) \end{aligned} $$

如果我们选取一个指定的坐标卡，继而把 $x_i$ 看作投射函数，那么 $\mathrm{d}x_i|_ p$ 就是指对应的 $\mathrm{d}\pi_i|_ p$，其中 $\pi_i(x_1, \dots, x_n) = x_i$.

例如对于 $\mathrm{d}f|_ p: T_p\R^n \to T_p\R^m$，考虑 $T_p\R^k \cong \R^k$ 可以将它表示成 Jacobi 矩阵：

$$\mathrm{Jac}(f) = \left(\frac{\partial f_j}{\partial x_i}\right)_{1\leq i\leq n, 1\leq j\leq m}$$

我们称 $M$ 的切丛是指：

$$TM = \bigsqcup_{p\in M}T_pM$$

又，我们定义点 $p$ 处的余切空间 $T_p^\ast M$ 是指 $T_pM$ 的对偶空间，那么 $M$ 的余切丛是指：

$$T^\ast M = \bigsqcup_{p\in M} T_p^\ast M$$

因此我们说对光滑的 $F: M \to \R$，整个 $\mathrm{d}F$ 实际上是余切丛的一个截面¹。一般的 $\mathrm{d}F$ 则是向量丛 $\mathrm{Hom}(TM, F^\ast TN)$ 的截面。

$M$ 上的一个光滑曲线是指光滑映射 $\gamma: J \to M$，其中 $J \subseteq \R$ 是区间。曲线在 $t_0$ 处的速度是指：

$$\gamma '(t_ 0) = \mathrm{d}\gamma \left(\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_ {t_ 0}\right) \in T_ {\gamma(t_ 0)}M$$

考虑有序对 $(f, U)$，其中 $U$ 是开集，$f$ 是 $U \to \R$ 的光滑函数，称 $(f, U)$ 与 $(g, V)$ 等价，如果它们在 $p$ 的某个邻域恒同，称这个等价类为 $f$ 在 $p$ 处的函数芽。全体等价类构成一个函数芽环，记作 $C_p^\infty (M)$ 或 $\mathcal{E}(p)$，它构成 $\R$-线性空间且与运算 $[(f, U)]_ p[(g, V)]_ p = [(fg, U\cap V)]_ p$ 构成结合代数。

现在，我们可以给出切空间另一定义为曲线的等价类。考虑 $\gamma(0) = p$ 的曲线，让 $\gamma_1 \sim \gamma_2$，如果对任一函数芽 $[f]$ 有：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (f \circ \gamma_1) \Big| _{t=0} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (f \circ \gamma_2) \Big| _{t=0}$$

为了定义微分形式，让我们先回顾张量的定义（注：在讨论张量时，会把一些下标写成上标来便于阅读，由于不会出现幂次，一般不会产生歧义）：

首先，定义 $V_1 \otimes \cdots \otimes V_k = \mathcal{F}(V_1 \times \cdots \times V_k)/\mathcal{R}$，其中 $\mathcal{F}(S)$ 是指集合 $S$ 上的自由向量空间，$\mathcal{R}$ 是由形如 $(v_1\cdots av_i\cdots v_k)-a(v_1\cdots v_i\cdots v_k)$ 与 $(v_1\cdots v_i+v_i'\cdots v_k) - (v_1\cdots v_i\cdots v_k) - (v_1\cdots v_i'\cdots v_k)$ 的元素生成的子空间。

对有限维向量空间，读者可以验证此定义会使得：

$$V_1^\ast \otimes \cdots \otimes V_k^\ast \cong L(V_1, \dots, V_k; \R)$$

我们称 $V$ 上的协变 $k$-张量是指 $\underbrace{V^\ast\otimes\cdots\otimes V^\ast}_k$，其全体记作 $T^k(V^\ast)$；称 $V$ 上的逆变 $k$-张量是指 $\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_k$，其全体记作 $T^k(V)$；称 $(k, l)$-型混合张量是指 $\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_k \otimes \underbrace{V^\ast\otimes\cdots\otimes V^\ast}_l$，其全体记作 $T^{(k, l)}(V)$.

一个协变 $k$-张量 $\alpha$ 被称为是对称的，如果 $\alpha(\cdots v_i\cdots v_j \cdots) = \alpha(\cdots v_j\cdots v_i \cdots)$，其全体称为 $\Sigma^k(V^\ast)$；我们有一个投射 $\mathrm{Sym}: T^k(V^\ast) \to \Sigma^k(V^\ast)$，它是：

$$(\operatorname{Sym} \alpha)(v_1, \dots, v_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k} \alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)})$$

对 $\alpha, \beta \in \Sigma^k(V^\ast)$，可以定义其对称积 $\alpha\beta = \mathrm{Sym}(\alpha\otimes\beta)$.

一个协变 $k$-张量 $\alpha$ 被称为是交错/反对称的，如果 $\alpha(\cdots v_i\cdots v_j \cdots) = -\alpha(\cdots v_j\cdots v_i \cdots)$，其全体称为 $\Lambda^k(V^\ast)$；我们有一个投射 $\mathrm{Alt}: T^k(V^\ast) \to \Lambda^k(V^\ast)$，它是：

$$(\operatorname{Alt} \alpha)(v_1, \dots, v_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k} (\operatorname{sgn} \sigma) \alpha(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(k)})$$

实际上我们可以找到 $\Lambda^k(V^\ast)$ 的一组基。对 $I = (i_1, \dots, i_k)$，我们定义 $\varepsilon^I$ 是指：

$$ \varepsilon^I(v_1, \dots, v_k) = \det \begin{pmatrix} v_1^{i_1} & \cdots & v_k^{i_1} \cr \vdots & \ddots & \vdots \cr v_1^{i_k} & \cdots & v_k^{i_k} \end{pmatrix} $$

那么对 $\dim V = n, n\geq k$，所有 $I$ 为递增指标的 $\binom{n}{k}$ 个 $\varepsilon^I$ 构成一组基。

我们定义楔积/外积是：

$$\omega\wedge\eta = \frac{(k+l)!}{k!l!}\mathrm{Alt}(\omega\otimes\eta)$$

它具有有趣的性质：

• 双线性性
• 结合律 $\omega\wedge(\eta\wedge\xi) = (\omega\wedge\eta)\wedge\xi$
• 反对称性 $\omega\wedge\eta=(-1)^{kl}\eta\wedge\omega$
• $\varepsilon^I\wedge\varepsilon^J = \varepsilon^{IJ}$，其中 $IJ$ 是拼接
• $\omega^1 \wedge \cdots \wedge \omega^k(v_1, \dots, v_k) = \det (\omega^j(v_i))$

作为一个例子，在 $\R^2$ 上有：

$$ \begin{align*} & (\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y)(v, w) \cr = & (\mathrm{d}x \otimes \mathrm{d}y)(v, w) - (\mathrm{d}x \otimes \mathrm{d}y)(w, v) \cr = & \mathrm{d}x(v)\mathrm{d}y(w) - \mathrm{d}x(w)\mathrm{d}y(v) \cr = & v_1w_2 - v_2w_1 \end{align*} $$

对光滑映射 $F: M \to N$ 与协变 $k$-张量场 $A$ 我们定义拉回：

$$(F^\ast A) _p(v _1, \dots, v_k) = A _{F(p)}(\mathrm{d}F(p)v _1, \dots, \mathrm{d}F(p)v_k)$$

回到流形上来，我们定义：

$$T^{(k, l)}TM = \bigsqcup_{p\in M}T^{(k, l)}(T_pM)$$

就有对 $\Gamma(T^{(k, l)}TM)$ 的元素 $A$，它将形如：

$$A = A_{j_1\cdots j_l}^{i_1\cdots i_k} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}}\otimes\cdots\otimes\frac{\partial}{\partial x^{i_k}}\otimes\mathrm{d}x^{j_1}\otimes\cdots\otimes\mathrm{d}x^{j_l}$$

我们称微分 $k$-形式是指下式的截面，记 $\Omega^k(M) = \Gamma (\Lambda^kT^\ast M)$：

$$\Lambda^kT^\ast M = \bigsqcup_{p\in M}\Lambda^k(T_p^\ast M)$$

根据交错条件，一个 $k$-形式 $\omega$ 可以被分解为 $\sum_I \omega_I \mathrm{d}x^I$，其中 $\mathrm{d}x^I$ 是 $\mathrm{d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge\mathrm{d}x^{i_m}$，$1 \leq i_1 < \cdots < i_m \leq n$.

对一般的 $f$ 是 $0$-形式，就有 $\mathrm{d}f$ 是 $1$-形式，且：

$$\mathrm{d}f = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i$$

在一维情形下，$\mathrm{d}f / \mathrm{d}x$ 被看成是一个 $0$-形式，可以定义为切映射的商。一般不会考虑多维情形的 $\mathrm{d}f / \mathrm{d}x_i$，有时它会定义为 Fréchet 导数，结果是 $m\times n$ 的矩阵。

作为一个有关 $1$-形式与 $2$-形式的例子，我们有：

$$ \begin{align*} & \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \cr = & \mathrm{d}(r\cos\theta) \wedge \mathrm{d}(r\sin\theta) \cr = & (\cos\theta\mathrm{d}r - r\sin\theta\mathrm{d}\theta) \wedge (\sin\theta\mathrm{d}r + r\cos\theta\mathrm{d}\theta) \cr = & r\mathrm{d}r \wedge \mathrm{d}\theta \end{align*} $$

$\mathrm{d}f / \mathrm{d}x$ 的另一种看法是缩并 $\iota_X(\mathrm{d}f)$，其中取 $X = \partial / \partial x$，则运算 $\iota_X$ 或 $X \lrcorner$ 是：

$$(\iota_X\omega)(Y_1, \dots, Y_{k-1}) = \omega(X, Y_1, \dots, Y_{k-1})$$

外微分 $\mathrm{d}: \Omega^k(M) \to \Omega^{k+1}(M)$ 被定义为在每个光滑坐标卡上是：

$$\mathrm{d}\left(\sum_J \omega_J \mathrm{d}x^J\right) = \sum_J \mathrm{d}\omega_J\wedge\mathrm{d}x^J$$

特别地，$k = 0$ 时，对 $f \in \Omega^0(M) = C^\infty(M)$，有 $\mathrm{d}f$ 是 $f$ 的微分：

$$\mathrm{d}f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \mathrm{d}x_i$$

外微分在 $\R$ 上线性，满足 $\mathrm{d} \circ \mathrm{d} = 0$，且对 $\omega\in\Omega^k(M)$ 及 $\eta\in\Omega^l(M)$，有：

$$\mathrm{d}(\omega \wedge \eta) = \mathrm{d}\omega \wedge \eta + (-1)^k\omega \wedge \mathrm{d}\eta$$

我们称一个 $\omega \in \Omega^k(M)$ 是闭的，如果 $\mathrm{d}\omega = 0$，称它是恰当²的，如果存在 $\eta \in \Omega^{k-1}(M)$ 使 $\omega = \mathrm{d}\eta$.

$\mathrm{d}f / \mathrm{d}x$ 也可看成李导数 $\mathcal{L}_X f$，这里：

$$(\mathcal{L} _X A) _p = \lim _{t \to 0} \frac{(\phi _t^\ast A) _p - A _p}{t}$$

其中 $\phi_t$ 是 $X$ 生成的局部流，满足 $\phi_0(p) = p$，$\phi_{s+t} = \phi_s \circ \phi_t$，及：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \phi_t(p) = X_{\phi_t(p)}$$

对 $A$ 是微分形式 $\omega$ 有 Cartan 魔法公式：

$$\mathcal{L}_X \omega = \mathrm{d}(\iota_X \omega) + \iota_X(\mathrm{d}\omega)$$