希尔伯特第三问题的证伪细节

希尔伯特第三问题是说：给定两个体积相等的多面体，是否总能将一个切成有限个多面体，通过平移、旋转组合成另一个？

这是 1900 年希尔伯特《数学问题》演讲¹提出的 23 个问题中最早得到解决的。

在英文重制文本中，可以看到这样一段描述。

Gauss mentions in particular the theorem of Euclid, that triangular pyramids of equal altitudes are to each other as their bases.

该问题由 Max Dehn 在 1901 年 9 月使用不变量解决。²此后 Jean-Pierre Sydler 于 1965 年证明体积与 Dehn 不变量都相同的多面体一定可通过互相剪拼得到。³

在平面中，类似问题的回答是肯定的，这是 Wallace–Bolyai–Gerwien 定理。

只需证明，多边形可以通过剪切拼接变为面积相等的正方形。这可以通过如下操作完成：

1. 将多边形剪成三角形
2. 三角形可以沿中位线剪，然后接平行四边形
3. 平行四边形可以剪接成矩形
4. 矩形可以剪接成正方形（通过把它变为一边长为 $\sqrt{ab}$ 的平行四边形）
5. 两个正方形可以剪接成大正方形（将正方形并排放置，割出两个斜边 $\sqrt{a^2+b^2}$ 的直角三角形）

对一个多面体，设其 $n$ 个棱长为 $l_1, l_2, \dots, l_n$，对应的二面角为 $\theta _1, \theta _2, \dots, \theta _n$，则 Dehn 不变量被定义为：

$$\sum_{i=1}^n l_i\otimes \theta _i \in \R\otimes _\Z \R/\pi\Z$$

这一二元组允许两个过程：

• $(l_1 + l_2, \theta) = (l_1, \theta) + (l_2, \theta)$ 在棱上剪/接
• $(l, \theta _1 + \theta _2) = (l, \theta _1) + (l, \theta _2)$ 在角上剪/接

有些文章中会采取 $\sum_{i=1}^n l_i \theta _i$，这足以完成证明，但会导致无法区分形如“边长为 π”的多面体。

这里解释一下张量积 $\otimes$ 的严格定义。

两个向量空间 $V,W$ 的张量积 $V\otimes W$ 是一个向量空间，由形如：

$$(v, w) \in V \times W$$

的元素张成，并商掉一族等价关系，是如下的双线性关系：

$$(a_1v_1 + a_2v_2, w) = a_1(v_1, w) + a_2(v_2, w)$$ $$(v, a_1w_1 + a_2w_2) = a_1(v, w_1) + a_2(v, w_2)$$

前文中 $\otimes _\Z$ 是指这里 $a\in \Z$，在无歧义时可省略。且易证明 $\R\otimes _\Z \R/\pi\Z = \R\otimes _\mathbb{Q} \R/\pi\mathbb{Q}$.

张量积使得 $V\times W$ 上的双线性函数可以等价地看成 $V\otimes W$ 上的线性函数。

棱长为 1 的正四面体的 Dehn 不变量为 $(6, 2\arctan\frac{\sqrt{2}}{2})$​，这不能化约成 $0$. 否则，存在 $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ 使得 $\tan(\frac{a}{b}\pi)=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

一方面，设 $y=e^{i\frac{a}{b}\pi}$，则这等于 $-i\frac{y^2-1}{y^2+1}$，满足 $2(y^2-1)^2+(y^2+1)^2=0$. 另一方面 $y$ 为单位根，极小多项式是分圆多项式，枚举知不成立。

而任意长方体的 Dehn 不变量都为 $0$，因此取体积与正四面体相等的长方体即为反例。