几何学Ⅰ期中复习笔记

本文用于准备几何学I（实验班）2025秋的期中考试。

几何是一个关联很多数学分支的分支，因此本文中可能涉及不那么几何的结论。

向量代数

需要记住 Lagrange 定理（远交近攻）：

$$(\alpha\times\beta)\times\gamma = (\alpha\cdot\gamma)\beta - (\beta\cdot\gamma)\alpha$$

可用这种方式现推：由 $(\alpha\times\beta)\times\gamma$ 在 $\alpha$ 与 $\beta$ 张成的平面里，设为 $\lambda\alpha+\mu\beta$，有 $(\lambda\alpha+\mu\beta)\cdot\gamma = 0$，即 $\lambda(\alpha\cdot\gamma)+\mu(\beta\cdot\gamma) = 0$.

另有公式：

$$(a\times b)\cdot(c\times d) = \begin{vmatrix} a\cdot c & b\cdot c\\ a\cdot d & b\cdot d\end{vmatrix}$$

可由前式推得。它的转置相等在仿射空间上没有较好的几何解释。

二次曲线

把方程的一般形式记作 $Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，也即：

$$ \begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$

可以用 $I_2 = \det \begin{pmatrix}A & B\\ B & C\end{pmatrix}$ 来判断曲线的类型。在移轴、转轴变换下 $I_2$ 及 $I_1 = A + C$ 与 $I_3 = \det \begin{pmatrix}A & B & D\\ B & C & E\\ D & E & F\end{pmatrix}$ 不变。

有以下重要仿射特征：

中心是对称中心。

只有椭圆型、双曲型曲线有中心。

我们定义渐近线是距离在无穷远处趋向于 $0$ 的直线¹，那么渐近线如果存在，可由中心和渐进方向算得。

两个直线方向共轭，如果 $\begin{pmatrix}x_0' & y_0'\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A & B\\ B & C\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$，也就是一个是另一个的共轭直径的直线方向。

另有一个重要的度量特征对称轴，非退化椭圆与双曲线都有两条对称轴，可以通过它们的方向共轭且垂直（与共轭方向垂直的方向称为主方向）算得。

二次曲面

几乎就是抄书。

直线除标准方程、一般方程外，还可用一般方程表示（即两平面的交）：

$$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} $$

该表示方法给出直线与平面平行或在其上的条件是：

$$ \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A & B & C \end{pmatrix} = 0 $$

异面直线的距离可转化为点到平面的距离。

一个旋转面由曲线 $\Gamma$ 绕轴 $l$ 得到，则称 $\Gamma$ 为母线，直线 $l$ 为轴线。

若一条曲线与一柱面/锥面的每条直母线相交，则称该曲线为准线。

二次曲面分类：通过移轴、转轴，非空二次曲面可化为以下 $14$ 种可能之一：

• 椭球型
  1. 椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1$
  2. 单点 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 0$
• 双曲型
  1. 单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1$
  2. 双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1$
  3. 椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 0$
• 椭球抛物型
  1. 椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 2z$
  2. 椭圆柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
  3. 单直线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 0$
• 双曲抛物型
  1. 双曲抛物面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = 2z$
  2. 双曲柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$
  3. 两个相交平面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 0$
• 抛物柱型
  1. 抛物柱面 $x^2=2py$
  2. 单平面 $x^2=a^2$
  3. 两平行平面 $x^2=0$

在非平凡的五种二次曲面（椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆抛物面，双曲抛物面）中有直纹性的是：

1. 双曲抛物面（马鞍面），满足同族的直母线彼此异面，平行于同一平面。
2. 单叶双曲面，满足同族的直母线彼此异面，异族的两条直母线一定共面。

变换

仿射变换是指保直线的双射，有 $\mathrm{Aff}(\mathbb{E}^n) = \mathrm{Transl}(\mathbb{E}^n) \rtimes \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$.

对保距变换，有 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) = \mathrm{Transl}(\mathbb{E}^n) \rtimes \mathrm{O}(n, \mathbb{R})$.

平面上的一些变换定义如下：

• 反射：关于一条直线对称
• 正压缩：在垂直于一个直线的方向压缩
• 滑反射：关于一条直线对称再沿它的方向平移
• 错切：关于一条直线平行移动，移动距离与点到直线距离成正比
• 斜压缩：沿着一个向量方向移动，使点到指定直线距离按比例放缩

来看一些结论：

设 $A\in \mathbb{R}^{n\times n}, A^T=A$，有 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$，定义 $\mathbb{C}$ 上内积 $\langle x, y\rangle = y^\dagger x = \sum \overline{y_i}x_i$.

则 $v^\dagger Av = \lambda \|v\|^2$，又 $(v^\dagger Av)^\dagger = v^\dagger Av$ 知它是实数，有 $\lambda$ 是实数。

考虑单位球的像，它必然为椭球体，因为方程仍然是二次的，可使用 Sylvester 惯性定理或保同伦群说明。

考虑椭球体的轴（它们是两两垂直的，满足 $v_i + \lambda v_j$ 在椭球上只有 $\lambda = 0$），由线性性可以说明对应的原像也是两两垂直的轴。这个对应可以唯一地决定仿射变换。

考后总结

一个证明题只得了部分分。场上采取了闭集套的证明，但我写的闭集并不相互嵌套。题面如下：

个人认为最好的做法是看成椭圆旋转复合上旋转位似变换。