范畴论（一）：代数上的定义对应的泛性质
前置知识
- 范畴论基本概念
积与余积
积的历史可以追溯到古代文明，随数学的发展，从自然数的积扩展到整数、有理数、实数、多项式的积，并且保持兼容性。这个过程是自然的。
代数结构的积以笛卡尔积为基础。对两个集合 $A$，$B$，我们熟知 $A\times B = \{(a, b)\mid a\in A, b\in B\}$，其中 $(a, b)$ 在集合论上严格地被定义为 $\{\{a\}, \{a, b\}\}$，读者可验证我们确实可以从 $(a, b)$ 中提取出 $a$ 与 $b$ 来。
除笛卡尔积之外，我们有无交并。对实际上有交的集合，无交并在技术上可以定义为 $A\sqcup B = \{(0, a)\mid a\in A\}\cup \{(1, b)\mid b\in B\}$，其中记 $0=\emptyset$ 及 $1=\{\emptyset\}$.
参照集合中的情形，在类型论中，有元组 $(a:A, b:B)$ 与枚举类型 $a: A \mid b: B$，如果不严格地把类型看作值的集合，那么这其实就是笛卡尔积与无交并。
同样地，抽象代数中有直积与直和，区别在于在无穷情形，直和要求只要有限个分量是非平凡的。
拓扑中，一族 $(X_i, \tau_i)$ 的积空间中的拓扑是使所有投影映射 $X\to X_i$ 连续的最粗拓扑。积拓扑的基可以由所有的 $\prod U_i, U_i\in\tau_i$ 其中只有有限个 $U_i\neq X_i$ 给出。
这些定义实际上体现了两种不同的泛性质。
对范畴 $\mathcal{C}$，称 $P$ 是一族 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的积，如果存在一族态射 $\pi_i\colon P\to X_i$ 使任一族态射 $\varphi_i\colon Y\to X_i$，存在唯一的 $\phi: Y\to P$ 使 $\pi_i\circ\phi=\varphi_i$.
特别地，$I=\emptyset$ 时定义空积为终对象。
易知积在同构意义下是唯一的。
积的对偶是余积（或称上积，上的译法可能来自画图时的方向；或称和），即：
称 $P$ 是一族 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的余积，如果存在一族态射 $\iota_i\colon X_i\to P$ 使任一族态射 $\varphi_i\colon X_i\to Y$，存在唯一的 $\phi: P\to Y$ 使 $\phi\circ\iota_i=\varphi_i$.
$I=\emptyset$ 时定义空积为始对象。
特别地，如果一族对象的积与余积相同，则称为双积。
读者可自行验证以下对应：
| 范畴 | 积 | 余积 |
|---|---|---|
| 集合 | 笛卡尔积 | 无交并 |
| 群 | 直积 | 直和 |
| 拓扑 | 积空间 | 无交并 |
拉回与推出
在拓扑中，对一个拓扑空间 $B$，一个 $B$ 上的空间（或称 $B$-空间）是指拓扑空间 $X$ 和连续映射 $p:X\to B$，可以将它看成一族空间 $X_b=p^{-1}(b)$（称作点 $b$ 的纤维）。两个 $B$-空间的连续 $B$-映射是满足 $p'\circ f = p$ 的连续映射 $f: X\to X'$.
对两个 $D$-空间 $(B, f: B\to D)$ 与 $(C, g: C\to D)$，称它们的纤维积是：
对 $d\in D$，考虑 $B_d\times C_d$，将它们拼成一个大空间，这也是一个 $D$-空间。
纤维积对应的是拉回。
对于对象 $B, C, D$ 与态射 $B\to D, C\to D$，它们的拉回是对象 $A$ 及态射 $A\to B, A\to C$，满足泛性质：对另一组对象 $A'$ 及态射 $A'\to B, A'\to C$，存在唯一的态射 $A'\to A$ 使图表交换。
拉回可以由积和等化子确定。
对 $A\overset{\quad f\quad}{\underset{g}{\rightrightarrows}} B$，称对象 $E$ 及态射 $e:E\to A$ 为它们的等化子，如果对任意 $z:Z\to A$ 有唯一的态射 $Z\to E$ 使图表交换。
观察图表即可发现拉回是 $B\times C\to D$ 的等化子。
通过此容易写出两个集合的拉回是 $\{(b,c)\in B\times C\mid f(b)=g(c)\}$，可以验证：一个集合的两个子集的拉回是它们的交。
使用拉回可以定义一般的核 $\ker f$ 概念。
对范畴 $\mathcal{C}$ 及零对象 $0$，态射 $f: X\to Y$，$f$ 的核为 $f$ 与 $u:0\to Y$ 的拉回。
拉回、等化子、核的对偶是推出、余等化子、余核。