#点集拓扑

参考阅读

• 讲义: 拓扑学 - 香蕉空间
• 《点集拓扑与代数拓扑引论》（21世纪数学规划教材·数学基础课系列）

基本概念

• 拓扑空间（开集）
• 例子（离散拓扑，平凡拓扑，Sierpiński 空间，有限补拓扑）
• 基本术语（闭集，开覆盖，邻域，内部 $A^{\circ}$，内点，聚/极限点，孤立点，导集 $A'$，闭包 $\bar{A}$，边界 $\partial A$，稠密，可分，细，粗）
• 构造（子空间拓扑，和/不交并拓扑 $\coprod$）
• 度量空间（度量，开球，标准拓扑，Euclid 空间 $\mathbb{E}^n$，球面 $\mathbb{S}^n$，闭球体 $D^n$，球极投影，Baire 纲定理）
• 映射（连续映射，同胚 $\cong$，嵌入 $\hookrightarrow$，开映射，粘贴引理）
• 积空间（积空间 $X\times Y$，环面 $T^n$）
• 空间上的空间
• 商空间（商映射，实射影空间 $\mathbb{R}\mathrm{P}^n$）

性质

• 可数性（邻域基，第一可数空间；拓扑基，第二可数空间）
• 分离性（T₀/Kolmogorov 空间，T₁ 空间，T₂/Hausdorff 空间，拓扑流形，T₃/正则空间，Sorgenfrey 平面，T₄/正规空间，Urysohn 度量化定理）
• 连通性（连通，局部连通，道路连通，拓扑学家的正弦曲线）
• 紧性（Tychonoff 定理，仿紧，列紧）
• 维数（Lebesgue 覆盖定理，拓扑维数 $\dim$，Menger-Nöbeling 嵌入定理，Hausdorff/分形维数，分形）

曲面分类

• 流形（局部 Euclid 空间，局部坐标系，流形，n 维流形）
• 流形上的定义（内点，边界点，边界 $\partial M$，闭流形，曲线，曲面）
• 剖分（几何单形，面，几何复形，单形/抽象单形，复形/抽象单纯复形，三角剖分）
• 多边形表示（连通和 $\#$，亏格，不可定向闭曲面 $gP^2$，可定向闭曲面 $gT^2$，交叉帽，环柄，闭曲面分类定理，Klein 瓶）
• Euler 示性数 $\chi(K)$，定向

重要概念

• 构造（一点并 $\vee$，锥，缩积 $\wedge$）