#微积分学
Rratic
参考阅读
- 于品的数学分析讲义
- 谢彦桐的 notes 适用于非数学专业
建议同步学习点集拓扑。
数学分析
基本概念
- 实数（实数集 $\mathbb{R}$，Archimedes 性，上界，下界，上确界 $\sup$，下确界 $\inf$）
- 极限（级数，数列极限 $\lim_{x\to \infty}$，Stolz 定理，上下极限，Fubini 定理，Riemann 重排定理）
- 等价性（闭区间套定理，有限覆盖定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛准则）
一元函数
- 极限（左右极限，无穷小代换）
- 连续性（连续 $C(U)$，间断点，一致连续，Lipschitz 连续，Hölder 连续）
- 导数与微分（导数 $f'$，Dini 导数，Schwarz 型导数，微分 $\mathrm{d}x$，导数连续性 $C^k(U)$，导数存在性 $D^k(U)$，光滑性 $C^{\infty}(U)$）
- 中值定理（Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理）
- L’Hôpital 法则
- Taylor 展开式（Peano 余项，Lagrange 余项）
- 不定积分（代换，分部积分，有理积分）
- Riemann 积分（积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$，Riemann 和，Darboux 上下和，Newton–Leibniz 公式，Riemann 可积性，反常积分）
- 解析性 $C^{\omega}(U)$
- Lebesgue 积分
多元函数
- 高维微分（方向导数 $\nabla_v(f) = \frac{\partial f}{\partial v}$，微分 $\mathrm{d}f(x_0)$）
- 映射微分（Jacobi 矩阵，链式法则）